Very elementary introduction to representation theory by G. van Dijk
セミナーをしていて気がついたことをメモします。
- p1, line 4. $= =$ は $=$.
- p1, line -5. $b_{kl}$ は line 2 と同じく $b_{ij}$ で良い。
- p2, line 3. $k=0$ は $k=1$.
- p2, last line of section 1.1. i.e. の後にカンマが必要。
- p2から p3のdisplayed formula それぞれにカンマが必要。 (see p8, Examples)
- In the following lines よくわからん。
- Proposition 1.2.2(a) 単位行列を $1$ と書いていることに注意。
- Proposition 1.2.2(a) の証明で(c) を使っているので、(c) の証明で(a) を使っていないことに注意しながら証明を追う必要がある。
- p5, line 7. GL=general linear. 初学者向けの本としては書いておきたい。
- p5, line 7, non-singular のいいかえ。p2, line 8で既にこれが必要になっている。
- p5, Corollary 1.2.4. tr$(a X a^{-1})=$ tr$X$ も使う。 p1 に書いておくと良い。
- p5, line -4. is is は is.
- p6, line 4. $3!$ は $3$. その行の最後の $+$ も$-$ の方がよい。
- p7, Exercise 3(a). 最初の括弧は $[X,[Y,Z]]$ ではなく、$[[X,Y],Z]$.
- p7, Exercise 2. まじめな疑問として、M(2) で、$[X,Y]\neq0$ なのに
$\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ となるような例はあるのだろうか？
斎藤新悟さんから[[文献>http://dx.doi.org/10.1007/BF02843715]]を教えていただきました。
$X=\begin{pmatrix} 0 & 5\pi \\ -5\pi & 0 \end{pmatrix},
Y=\begin{pmatrix} 0 & 27\pi \\ -3\pi & 0 \end{pmatrix}$ という例がある。
$X=\begin{pmatrix} 0 \quad 5\pi \\ -5\pi \quad 0 \end{pmatrix},
Y=\begin{pmatrix} 0 \quad 27\pi \\ -3\pi \quad 0 \end{pmatrix}$ という例がある。
このとき、$\exp(2X)=\exp(2Y)=\exp(2X+2Y)=I$ 単位行列となっていて、
$[2X,2Y]\neq O$ です。
- p8, Definition 2.1.1. 線形群の定義として、位相的条件などは課していない。
- p8, line -8, e.g. のあとにカンマが必要。
- p8, ilne -2, $M(n,\mathbb{R})$ は $M(2,\mathbb{R})$.
- p9, line 2, $M(n,\mathbb{R})$ は $M(3,\mathbb{R})$.
- p9, line 1. Write also... これらの４つは線形群ではない。（線形群の例ではない。）
また、この時点では、似たような記号のものたちの間の対応は与えられておらず、
あとで、Theorem 2.1.3 で行う。
- p9, Theorem 2.1.3 の証明の４行目。
as one easily sees が前後のどちらにかかるか文法上不明。
おそらく、前者だと思うが。
- p9, line -2. SO$3,\mathbb{R})$はSO$(3,\mathbb{R})$.
- p10, line 11. so negative のあとのピリオドはカンマ。
- p10, SU(2,$\mathbb{C})$ のU と( の間隔がまちまち。
- p10, line 12, diag という記号の説明がない。それらをこの順に対角成分とする対角行列。
- p10, line -4. SO(3,$\mathbb{R}$) の部分群となる理由は何だろうか？
連続性を使う？
- p11, line 6, representation. 通常の用語と合わせると、
Ad:$G \rightarrow$ SO(3,$\mathbb{R}$) が表現という感じだが。
- p13, line -6. $exp$ は $\exp$.
- p14 [Ros]. なんとうっかりしたことか、この冊子に参考文献がついていない。
Rossman と推察される。
- Theorem 3.1.1 のmeaning の大きな式の左辺の分子の ad X にマイナスが欠落している。
- p15から16 の証明。括弧がたくさん抜けていて読みづらい。
$\exp -s X (t)$ は $\exp(-s X (t))$ と書くべきであろう。
- p16, line -3. singular value. 写像が全単射でなくなる $\lambda$ の値、
ということであろうが、ここでこの初出の単語を使用する必要はない。
$(1-e^{-\lambda})/\lambda=0$ となるような $\lambda$ の値のことである。
- p17, section 3.2 の証明の冒頭。$G \subset M$ である。(p12, p8 で婉曲にその設定がなされているがわかりづらい。）具体的には、証明の６行目で微分するときに初めてはっきりする。
- 同じく証明の6行目の M は $M$.
- p17, 同じく証明の8行め、$g$ は $\mathfrak{g}$.
- 同じ箇所、
$g: \mathfrak{g} \rightarrow M$,
$h: \mathfrak{s} \rightarrow M$,
$f: \mathfrak{g} \times \mathfrak{s} \rightarrow M$,
この記号だけだと誤解が生じうるが、
ことばで補ってあるように、
定義域はそれぞれ線形空間全体ではなく、原点の近傍のみである。
- p17, line -8. itself. ニュアンスがわからない。
- p18 中程、$A(Z), A(X)$ わかりづらい書き方。
$A(Z)=A(X)(Z)=A(X)Z$ と書いている。
最初の等式は $A=A(X)$, 後ろの等式は $Z$ につけている括弧を外した記法。
- p18, line 9. $\det$.
線形空間 $\mathfrak{g}$の上の線形変換としての行列式か、
あるいは、$\mathfrak{g} \subset M=M(n,\mathbb{C})$ としての行列式かが明示的ではない。
ただし、これ以降の証明にはどちらでも通用する。
- p18, line -10, reduces は is reduced ではないかと思われるが、
もとのものでも間違っていないのかどうかは私にはわからない。
英語で書かれている数学の文書の読み方の練習
- p1, denoted by tr A : 前後のコンマの役割。次ページの i.e. も参照。
- with respect to 慣用句
- Indeed 証明
- p2, if 定義
- Alternatively, いいかえ
- if and only if 慣用句
- non-singular
- A series... A は行列ではなく不定冠詞。
- i.e.
- Section 1.2. formulae の後ろのコロンの役割。
- p4, unique, commuting
- p5, just by taking 主文のどこにかかっているか。
- p8. itself.
- p10. as well
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