iwase/determinant - PukiWiki

iwase

実数を成分とする二次の行列 の行列式を考える。

-平面上の平面ベクトル に対して、まず を二辺とする三角形のもう一つの辺は で与えられるから、余弦定理より から見た の角度 の進行方向向かって左にあるとき正で右にあるとき負となる) が成り立つので、 の内積 が次のように式で与えられることが分かる:

次に、 が平行でないとし、これらを平行でない2辺とする平行四辺形の面積 で与えられるから、三角関数の性質とピタゴラスの定理より

を得る。従って、 である。

実は の符号は の符号に一致(四則演算の連続性に基づく中間値の定理を用いた背理法による証明しか思いつかないので省略する)し、 が成立する。すなわち、 の進行方向向かって左側にあるときは となり、これが裏返った形になっている時は となる。そういう理由で、実数 , を平行でない2辺とする平行四辺形の「符号付き面積を表す」と言われる。 また、 が平行な場合も、潰れた平行四辺形の面積を であると考えれば、同じ等式が成立する。

実数 の行列式と呼び、 で表す。

さて -平面上の全ての点をその位置ベクトルと同一視するならば、任意の点(その位置ベクトル) は行列 により新しい点 に写されると考えて良いだろう。 ところが上記の事実から、正方形は平行四辺形に写され、その符号付き面積は 倍される。

これは全ての図形が行列 により歪んだ別の図形に変形され、その符号付き面積が 倍されることを意味する。 実際、与えられたいかなる図形 も微小な正方形の集まりでいくらでも細かく近似でき、その像 も微小な平行四辺形の集まりで同様に近似され、各々の符号付き面積が 倍されるからである。


トップ   編集 凍結 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Last-modified: 2019-05-14 (火) 07:49:26 (37d)