ochiai/LieGroupsRepnTheory

小林俊行・大島利雄「リー群と表現論」岩波書店

• セミナーをした上での注意点
• p11, (1.6) は (1.5) から導けるので余分。おそらく、(1.4) では $e \cdot x = x$ は、$g_1\cdot(g_2 \cdot x)=(g_1 g_2) \cdot x$ からは出てこない、ということと混同したのだと思う。もちろん、(1.6) が入っていても差し支えはない。
• p12, line 4. 「複素シンプレクティック群」英訳はここにはなく、page 309 に。また、索引には、page 302 のみが挙げられているが p12 も挙げておくと便利。なお、索引 page 602 には symplectic という項目がない。
• p12, line-5から -2 の説明。「$Hom_{\mathbb{C}}(V,W)$ が、ここのやり方で線形空間の構造を持つこと」、および「部分集合 $Hom_G(V,W) \subset Hom_{\mathbb{C}}(V,W)$ が線形部分空間になること」、の２つの事柄の統合として説明できる。
• p13, line -7, $GL(W)$. $GL$ という記号は初出。page 10から、ここまでは $GL_{\mathbb{C}}$ と書いている。 略記することを述べておく方が安全。
• p18, line -6「等長全射であって、かつ、全単射」？等長だとしたら単射は自動的なので、全単射は不要では？ここの文脈で丁寧に言うのであれば、前文をふまえて、「等長な線形全射」と言っておく。
• p19, 定義 1.32 の後半。後半でも群 G は「位相群」を仮定しているのだと思われる。page 28, Remark 1.46 はどうか。
• p20, 命題 1.36. ここで完備化で構成された「Hilbert 空間」が可分かどうかは明白でない。(c.f. page 18, line 11 のconvention との関係。）
• p28, ４行目の $\cong$ は $=$.
• p28, ４行目および定理 1.45. $Hom_G(V,V)$ が写像の合成によって積の構造を持ち、したがって、代数であることを言及しておきたい。４行目の右辺が体と同型になることが書かれているが、左辺も環になり、両辺は「環として同型になる」。定理でもいずれかの体に「環として」同型である。なお、これらの事実の背後には、「$G$-線形写像(定義は 1.15, page 12) の合成も $G$-線形写像」という事実がある(このことも、当たり前なのか、明示的にかかれてはいない)。
• p31, なかほど「そのスカラーを $C_j$ とおくと」の直後に、まず、$p_j \circ q = C_j id_W$ を書いておきたい。
• p31, その直後の「少なくとも一つの」は不要。既に上でそのような $j$ を選んでいる。また、説明としては、「$W_0 \neq \{ 0\}$ であるから」というよりは、「$p_j \vert_{W_0} \neq 0$ と$j$ を選んだので」。
• p31, その直後。$\Phi=\sum_{j=1}^m \Phi_{i_j} \circ p_j$ なので、$\Phi\circ q = \sum_{j=1}^m \Phi_{i_j} \circ p_j \circ q = \sum_{j=1}^m C_j \Phi_{i_j}$. ($w \in W$ を持ち出す必要がない。）
• p31, line -4 と -3 の間：いったん $v=\sum_{k=1}^d \Psi_k(w_k)$ を書いておいてから、$\pi(g)v$ の計算に入りたい。(こうすると $\Phi_{i_j}$ はもう２度と登場しない。) $\pi(g) v = \sum_{k=1}^d \Psi_k(\pi(g) w_k) \in \sum_{k=1}^d \Psi_k(W)$, したがって、$\sum_{g \in G} {\mathbb{C}} \pi(g) v \subset \sum_{k=1}^d \Psi_k(W)$. ここから、line -1 に続く。
• p52, line -11. ${\mathbb{C}}^\times \sim GL(1,{\mathbb{C}})$ と書かれているが、${\mathbb{C}}^\times=GL(1,{\mathbb{C}})$ であろう。p10, line -3 の定義より。
• p57, 定理 2.6(iii) ここでいう環準同型は単位元を単位元に写す写像ではない。
• p158, line -5 「このとき」から p159, line 5「成り立つ。」 まで。まず、p155, line 6 で $x$ に関する sup を考えると、$\left\Vert T_K f \right\Vert_{L^\infty(G)}^2 \le C^2 \left\Vert f \right\Vert_{L^2(G)}^2$ が成り立っている。これを $f= \sum_{k \notin \Lambda_\varepsilon} a_k \varphi_k$ に適用すれば, p159, line 4 の式に相当する$\left\Vert F - \sum_{k \in \Lambda_\varepsilon} a_k \lambda_k \varphi_k \right\Vert_{L^\infty(G)} \lt\varepsilon $ が得られる。
• p159. 正規空間や Uryson の定理が引用されているが、仮定する知識として、やや高度である。距離関数を使って、$d(x,A) = \mbox{inf}_{a \in A} d(x,a)$, $k_1(g) = \frac{d(x,\bar{U})}{d(x,\bar{U}) + d(x,W^c)}$ と定めると、より易しい。
• p160, line 1. $K(x,y) = \overline{K(y,x)}$ は確かに正しい。ただし、今の定め方から $K(x,y)$ は実数である。
• p312, 定義 7.15 の式 (7.18). $K$ が四元数体の時がわざわざ強調されているが、例 7.24 が (7.18) を満たさないので、式(7.18) に何らかの誤りがあると思われる。（橋本隆司氏の指摘)