ochiai/LieGroupsRepnTheory

小林俊行・大島利雄「リー群と表現論」岩波書店

セミナーをした上での注意点
p11, (1.6) は (1.5) から導けるので余分。おそらく、(1.4) では $e \cdot x = x$ は、$g_1\cdot(g_2 \cdot x)=(g_1 g_2) \cdot x$ からは出てこない、ということと混同したのだと思う。もちろん、(1.6) が入っていても差し支えはない。
p12, line 4. 「複素シンプレクティック群」英訳はここにはなく、page 309 に。また、索引には、page 302 のみが挙げられているが p12 も挙げておくと便利。なお、索引 page 602 には symplectic という項目がない。
p12, line-5から -2 の説明。「$Hom_{\mathbb{C}}(V,W)$ が、ここのやり方で線形空間の構造を持つこと」、および「部分集合 $Hom_G(V,W) \subset Hom_{\mathbb{C}}(V,W)$ が線形部分空間になること」、の２つの事柄の統合として説明できる。
p13, line -7, $GL(W)$. $GL$ という記号は初出。page 10から、ここまでは $GL_{\mathbb{C}}$ と書いている。略記することを述べておく方が安全。
p18, line -6「等長全射であって、かつ、全単射」？等長だとしたら単射は自動的なので、全単射は不要では？ここの文脈で丁寧に言うのであれば、前文をふまえて、「等長な線形全射」と言っておく。
p19, 定義 1.32 の後半。後半でも群 G は「位相群」を仮定しているのだと思われる。page 28, Remark 1.46 はどうか。
p20, 命題 1.36. ここで完備化で構成された「Hilbert 空間」が可分かどうかは明白でない。(c.f. page 18, line 11 のconvention との関係。）
p28, 「$t \notin \pi \mathbb{Z}$ では、$\pi(t)$ は」。２つの$\pi$ のうち、前者は実数、後者は表現。もちろん異なるが位置が近い。
p28, ４行目の $\cong$ は $=$.
p28, ４行目および定理 1.45. $Hom_G(V,V)$ が写像の合成によって積の構造を持ち、したがって、代数であることを言及しておきたい。４行目の右辺が体と同型になることが書かれているが、左辺も環になり、両辺は「環として同型になる」。定理でもいずれかの体に「環として」同型である。なお、これらの事実の背後には、「$G$-線形写像(定義は 1.15, page 12) の合成も $G$-線形写像」という事実がある(このことも、当たり前なのか、明示的にかかれてはいない)。
p28, line 5. 右辺は$\mathbb{R}$上2次元の「ベクトル空間」。線形構造を論じるときは、右辺の形式$a\pi(\theta)$ を使うのではなく、包含関係 $GL(2,\mathbb{R}) \subset M(2,\mathbb{R})$ による右辺の線形構造を用いている。
p28-29. 定理1.47. ここでの表現が複素数体上であることが定理の主張では述べられていないが、証明ではそれが仮定されているので、書いた方がベター。前節では、実数体上の表現も盛んに出てきたので明示的に述べておきたい。
p31, line 13「そのスカラーを $C_j$ とおくと」の直後に、まず、$p_j \circ q = C_j id_W$ を書いておきたい。
p31, line 14「少なくとも一つの」は正しいけれど、、、。既にline 8で選んだ $j$ に対して、$C_j \neq 0$ が成立しているので、そのように書いた方が親切かな。また、説明としては、「$W_0 \neq \{ 0\}$ であるから」というよりは、「$p_j \vert_{W_0} \neq 0$ と$j$ を選んだので」。
p31, line 16 の計算。$\Phi=\sum_{j=1}^m \Phi_{i_j} \circ p_j$ なので、$\Phi\circ q = \sum_{j=1}^m \Phi_{i_j} \circ p_j \circ q = \sum_{j=1}^m C_j \Phi_{i_j}$. ($w \in W$ を持ち出す必要がない。）
p31, line -4 と -3 の間：いったん $v=\sum_{k=1}^d \Psi_k(w_k)$ を書いておいてから、$\pi(g)v$ の計算に入りたい。(こうすると $\Phi_{i_j}$ はもう２度と登場しない。) $\pi(g) v = \sum_{k=1}^d \Psi_k(\pi(g) w_k) \in \sum_{k=1}^d \Psi_k(W)$, したがって、$\sum_{g \in G} {\mathbb{C}} \pi(g) v \subset \sum_{k=1}^d \Psi_k(W)$. ここから、line -1 に続く。
p36, line -2. $\{v_1^\check{}, \ldots,v_m^\check{}\}$ は正規直交基底ではなく、双対基底では？
p37, line 2から line 4. 対称テンソルの場合の内積の説明がよくわからない。例えば、$\dim V=2$ でその正規直交基底を $u,v$ とし、$k=2$ の場合の $S^k(V)=S^2(V)$ を考えると、p33 の(1.27) の説明によれば、$u\otimes u, u\otimes v, v\otimes v$ が正規直交基底になるような内積を入れる、という説明がなされている。この定義によれば、$2u\otimes v$ の自分自身との内積の値(すなわち長さの２乗)は $2^2=4$ である。一方で、$V$ の正規直交基底を $u'=(u-v)/\sqrt{2}, v'=(u+v)/\sqrt{2}$ と定めれば、$2u\otimes v = u' \otimes u' - v' \otimes v'$ である。仮に、正規直交基底 $u' \otimes u', u' \otimes v', v'\otimes v'$ を用いてその長さの２乗を計算すると $1+1=2$ となり、その定め方だと内積が well-defined とは思えないのだが。
p48, line 3から line 5。「証明のわからない部分は軽く飛ばし」「全体のイメージをしっかりつかむこと」。この両立は難しいようです。
p52, line -11. ${\mathbb{C}}^\times \sim GL(1,{\mathbb{C}})$ と書かれているが、${\mathbb{C}}^\times=GL(1,{\mathbb{C}})$ であろう。p10, line -3 の定義より。
p53, line 13「まったく」異なる。異なることはわかるのだが、まったく、というニュアンスを理解することが。
p57, 定理 2.6(iii) ここでいう環準同型は単位元を単位元に写す写像ではない。
p58, line -8 から line -6。「証明を飛ばされても差しつかえない。」「しっかりイメージしてほしい。」この両立は難しいようです。
p58, 補題5.8。すぐに p61 で登場するFourier 変換したバージョンを導入してしまった方が、「イメージ」しやすいのでは？　補題1(補題5.8 の Fourier 変換バージョン)『ユニタリ表現 $\omega: \mathbb{R}^n \to GL_{\mathbb{C}}(L^2(\mathbb{R}^n))$ を $(\omega(\xi) f)(x) := e^{-\sqrt{-1}\langle x, \xi\rangle} f(x)$ で定義する。(1) $\omega$ はユニタリ表現。 (2) 可測集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ に対して、$L^2(E)$は、加法群 $\mathbb{R}^n$ のユニタリ表現 $(\omega,L^2(\mathbb{R}^n))$ の $\mathbb{R}^n$-不変な閉部分空間である。 (3) $L^2(E)$ の $L^2(\mathbb{R}^n)$ における直交補空間は $L^2(\mathbb{R}^n \setminus E)$ である。 (4) 加法群 $\mathbb{R}^n$ のユニタリ表現 $(\omega,L^2(\mathbb{R}^n))$ の $\mathbb{R}^n$-不変な閉部分空間 $V$ は、次の性質P を満たす。「性質P: $f \in V, g \in V^\perp$ に対して、$f$ の台と $g$ の台の交わりは零集合」。なお、$V$ の直交補空間を $V^\perp$ と書いている。(5) $L^2(\mathbb{R}^n)$ の閉部分空間 $V$ が性質P を満たすならば、ある可測集合 $E$ が存在して、$V=L^2(E), V^\perp=L^2(\mathbb{R}^n\setminus E)$ と書ける。』　『補題2(補題1と補題5.8 をつなぐ補題)。 (1) ${\mathcal F} \circ \omega(\xi) \circ {\mathcal F}^{-1} = \pi(\xi)$. (2) 加法群 $\mathbb{R}^n$ のユニタリ表現 $(\pi,L^2(\mathbb{R}^n))$ の $\mathbb{R}^n$-不変な閉部分空間と加法群 $\mathbb{R}^n$ のユニタリ表現 $(\omega,L^2(\mathbb{R}^n))$ の $\mathbb{R}^n$-不変な閉部分空間は Fourier変換によって、１対１に対応する。』　『補題1(4) の証明(本の証明と同じ)。$f \in V, g \in V^\perp$ に対して、$\omega(\xi)f \in V$ なので、$0= \langle \rho(\xi)f, g\rangle = \int_{{\mathbb R}^n} e^{-\sqrt{-1}\langle x, \xi\rangle} f(x) g(x) dx = {\mathcal F}(fg)(\xi)$ となる。従って $fg=0$ a.e. である。QED.』　『補題1(5) の証明(本の証明と同じ)。この部分ではもう表現は使わない。... 』
p101. 定理3.41. $*$-環の準同型写像の定義は与えられていないが、定義3.38 の$*$-環の定義から自然に類推せよ、ということなのだろう。
p111, line 6. $\tau$ は $\tau_1$.
p112 (d) の３行目。本題ってなんだろう？
p113 のステップ(1). ここでは$\tau_1 \boxtimes \tau_2$ の任意の既約な部分表現 $\pi'\neq0$ に対して、$\pi' = \tau_1 \boxtimes \tau_2$ を証明できている。（「真」部分表現という条件は最後の最後まで使われていないので。）従って、背理法でなく、普通の証明が完了している。
p158, line -5 「このとき」から p159, line 5「成り立つ。」まで。まず、p155, line 6 で $x$ に関する sup を考えると、$\left\Vert T_K f \right\Vert_{L^\infty(G)}^2 \le C^2 \left\Vert f \right\Vert_{L^2(G)}^2$ が成り立っている。これを $f= \sum_{k \notin \Lambda_\varepsilon} a_k \varphi_k$ に適用すれば, p159, line 4 の式に相当する$\left\Vert F - \sum_{k \in \Lambda_\varepsilon} a_k \lambda_k \varphi_k \right\Vert_{L^\infty(G)} \lt\varepsilon $ が得られる。
p159. 正規空間や Uryson の定理が引用されているが、仮定する知識として、やや高度である。距離関数を使って、$d(x,A) = \mbox{inf}_{a \in A} d(x,a)$, $k_1(g) = \frac{d(x,\bar{U})}{d(x,\bar{U}) + d(x,W^c)}$ と定めると、より易しい。
p160, line 1. $K(x,y) = \overline{K(y,x)}$ は確かに正しい。ただし、今の定め方から $K(x,y)$ は実数である。
p194 (5.49) の２行下から５行下。原文のママで問題ないのだが、念のため。$F$ が $C^\infty$ 級であることの理由は、直前の display された式による展開ではなく、$F$ の定義から従うこと。display された式は $F$ の原点でのJacobi 行列が単位行列になることの理由である。
p312, 定義 7.15 の式 (7.18). $K$ が四元数体の時がわざわざ強調されているが、例 7.24 が (7.18) を満たさないので、式(7.18) に何らかの誤りがあると思われる。（橋本隆司氏の指摘)