ochiai/book/inoguchiLA - PukiWiki
  • p18, line -3 でユークリッド線形空間を導入した時は内積が $\mathcal{F}(\cdot,\cdot)$ と書かれていたが、p22, line 2 では内積を $(\cdot \vert \cdot)$ と表す、と宣言されている。この2つは同じもの?
  • p29, line 10. 「採れる」。取れる、かな。
  • p41, (2.12). $i$ の定義の $E_{11}+E_{22}$ は $E_{11}-E_{22}$. $k$ の定義の $E_{11}+E_{22}$ は $E_{12}+E_{21}$. 例2.13 を見よ。
  • p45, 註2.3, line 2. 「無限次元」。$M$ が有限集合の場合は $\mathfrak{X}(M)$ は有限次元。$M$ が無限集合の場合に$\mathfrak{X}(M)$ は無限次元。
  • p46, line 1. 「部分リー環」だと、(間違ってはいないものの) 文意が数学的にナンセンスになるので、「部分線形空間」。
  • p47, 例2.12 の中程の論理。$f$ の定義の直後に2つの命題「P: $f$ はリー環同型写像である」「Q: $f(x) y = x \times y$」が述べられている。本文の順序だと、「PとQは論理的には無関係」、あるいは、 「P が Q を示す時の助けになる」、のどちらかを示唆するのだが、実は、 「Q が P を示す時の助けになる」のではないだろうか。P と Q を逆順に書いた方が良いように思う。
  • p48, 例2.13の$J_2$ の式の最右辺の分子の i は 1.
  • p49, 命題2.2. $n=1, K=R, A=1, B=-1$ とすると リー環として同型であるが、 P が存在しない、という例を与えているということはないだろうか? (命題の証明があればそういうことが生じているかどうかがわかる。)
  • p50, 命題2.2の証明。必要条件の方は証明しているだろうか? 省略するのは差し支えないのだが、証明を省略したことに言及しなくて良いだろうか?
  • p50, 定義2.4 の2行目。$\mathbb{V}$ と V が混在。
  • p51, 問題2.3の3行目。4つの式がカンマで区切られている。 第1式と第2式、第2式と第3式の間には空白がある。 第3式と第4式の間にも同じぐらいのスペースを入れたらどうだろう。 $f$ と $k$ の間。
  • p54, line 11. $D_{i+1}\mathfrak{g}$ の定義の右辺、 $[D\mathfrak{g}, D_{i}\mathfrak{g}]$ は $[\mathfrak{g}, D_{i}\mathfrak{g}]$.
  • p55, 問題2.7 の「核」と「Ker $f$」の間のカンマは必要か?
  • p55, 問題2.8 の最後の行の右辺。$=\in$ は $\in$.
  • p56, line -5 に「随伴表現」が出てくるので、初出はどこかな、と索引を引くと p76 が指定されている。この時点で既出?あるいはもう一冊の本を参照する?
  • p56, line -5. GL$(\mathbb{V})$ は GL$(\mathfrak{g})$かな?
  • p56, line -4 の右辺 $e^{-tY}$ は $e^{-tX}$.
  • p56, line -2. これで正しいが、余白があるので $[X,Y]=\mbox{ad}(X)Y$ と追記しておきたい。
  • p57, line 6。ちょっと意味が取れない。$\exp(t[X,Y]) \in G$ であろうから、$\exp(s(G$ の元)) という式になっている。しかし、exp の中には$G$ の元ではなくて $\mathfrak{g}$ の元が入るのでは?それを受けて、line 9 も。
  • p58, 命題2.4. $G=O(2)$ とするとどうだろうか? $Z(O(2)) = Z_2$ なので (p88), そのリー環は $\{0\}$ となるが、 $\mathfrak{g}$ は可換リー環なので、 $z(\mathfrak{g}) = \mathfrak{o}(2)$ 、つまり1次元となる。
  • p61, 例2.16. $[A_1^-, A_2^-] = - A_3^-$ であり $[A_1,A_2]=A_3$ であり、 $f(A_k^-) = A_k$ と定めたとすると、 $f$ はリー環準同型にならないように思う。 どれかに修正が必要では?
  • p64, line 3. $U=Y$.
  • p64, line -2. $K$ は $K_n$.
  • p66, 命題2.8 の2行下の太字。「同型でない」。同型でないことは正しいのだが、「わかった」、と書かれると証明や説明がそこまでに与えられているのかどうかが気になる。
  • p68, 例2.19, line 8. $(-J)$ は $(-J_n)$.
  • p70, line 2. 採り上げる vs 取り上げる。
  • p71, 命題2.11 の3行目。レイアウト。$\vec{v}$ と $(n\ge 1)$ の間にスペースが欲しい。
  • p71, 命題2.11 の6行目の右辺。$(n+1){\vec u}_n$ は $(n+1) {\vec{u}}_{n+1}$.
  • 7行目。右辺の ${\vec{u}}_{n+1}$ は ${\vec{u}}_{n-1}$.
  • 8行目。$A\vec{u}_n$ の式の成立範囲は $n\ge -1$ ではなく、$n \ge 0$.
  • p80, 例3.1. 面白いやり方だと思います。これを見ていると、 一般の $X,Y$ に対して、 $\mbox{tr}(Z \mapsto Y Z X) =\mbox{tr}(Y) \mbox{tr}(X)$ が 導けていると思います。 $\mbox{tr}(Z \mapsto X^2 Z)$ は $Y, X$ がそれぞれ $X^2, E$ の場合。 $\mbox{tr}(Z \mapsto XZX)$ は $Y,X$ がそれぞれ $X,X$ の場合。 と考えられますね。
  • 例3.1, line 3. $X^2$ は $X$. あるいは $X$ は $X^2$.
  • p88 の表。 SU$(n)$ を U$(n)$ の直後に移動したい。 理由:U$(n)$ とSU$(n)$ が近接していると見やすい。 A 型を U$(n)$, SL$(\mathbb{C})$, SL$(\mathbb{R})$ と並べると、 C 型の Sp$(n)$, Sp$(n;\mathbb{C})$, Sp($\mathbb{R}$) という 「compact, complex, split」との並びが揃うので。
  • 定義4.3. $\mathbb{V}_f(\lambda) \subset \mathbb{W}_f(\lambda)$ に言及しておくか。
  • p92, 命題4.1 の1行上。「4.1」を手直し。「補題4.1」のことか?すぐ上に定理4.1 もあり、明示した方が良いのでは?
  • p93, line -11 から line -9「$A^m=O$ の両辺、、、矛盾。」。ここはもっと直接、「ところが、$A^m=O$ は逆行列を持たないので、矛盾。」でよいのでは?
  • $\lambda_j, m_j$ の添字。 p90, line 1 では $j$ が使われているが、以降の 補題4.1(4)や命題 4.1(5) では $i$ が使われている。 特段の事情がなければ、せめて近い場所では 同じアルファベットを使って欲しい。
  • p95 の中程。$Y$ として固有値$2$ の行列の例が与えられているが、なぜ、固有値$0$ の行列にしなかったんだろう?月並みな例を避けたかった?
  • p95, line -6. 「使ってみよう。」 何をするのに? 段落の冒頭であるが、 目的が明示的でない印象を受ける。
  • p96, line 1 と line 6。 ここでは $f_{N_j}, f_j, f_{S_j}$ の順に導入されているが、 定義の自然さからは $f_j, f_{S_j}, f_{N_j}$ の順ではないだろうか?
  • p96, line 1 や line 2 の $\lambda_r$ は $\lambda_j$. 4箇所。
  • p96 line 7. $\mathbf{v}$ は $\vec{v}$ と同じ。
  • p96, line 9, line 14. $\vec{x}_j$ は $x_j$.
  • p98, 問題4.2(1). 近畿大学の記号をひきづっているのかもしれないが、 ここでは文字 $n$ を使いたくない。 (今まで一貫して、$n$ を行列のサイズに使っているので。) そもそも、行列 $N$ の方は nilpotent としての意味がつくが、 $n$ はなぜその文字を使うのか、意味もはっきりしない。 問題 4.3 でベキに $n$ を使っているので、それとも相性が良くない。 (なお、ダブルスタンダードだが、問題 4.3 の方の $n$ の使用は、習慣的に許されると思う。)
  • p98, 命題4.5. line 1. $\ldots$ と $A_r$ の間にカンマ。
  • p98, 脚注2。関口の文献の volume 39 を太文字にする。 Kostant の 81 は太文字なので、それに合わせて。
  • p99, 定理4.4. $\lambda$ は $\lambda_2$.
  • p102, line -4. 「$q_n$ を $-q_n$ に取り替える」。 $2m=n$ の時は大丈夫だろうか?
  • p103, 命題4.7のリード文. 「面倒」。 可換な部分リー環であることを確かめるのは 面倒ではない。 「極大」は面倒な気もするけど、 しかしそれは $\mathfrak{su}$ の時も面倒な気がするので、 $\mathfrak{su}$ のとき「より」面倒なのかは不明。
  • p104, 命題4.7 では $n=2m$, p105, 命題4.8 では $n=2m+1$ としている。 一方、p107, 例4.3 では $n=2\ell$, $n=2\ell+1$ としている。 特段の理由がなければ、$m$ と $\ell$ は同じ文字を使いたい。
  • p104, line -4. この時点では $\lambda_2 = -\lambda_1$ である。 あえて記号を2つ用意していることの理由が伝わるだろうか?
  • p105, line 10. 太字の「どんな」。 $H \neq 0$ を仮定する必要あり。
  • p105, 問題.4.4(1) 「$A,$」と「$B$」の間に(1)と同じような適切な空白を入れる。
  • p106, line 8. したがって「こ」のとき
  • p108, line 2. $\ldots$ と $\theta_{2n}$ の間にカンマ。
  • p108, line 5. $\ldots$ と $h_{2n}$ の間にカンマ。
  • p109, line 1. 「最小」。 線形順序が入らないのでどのような順序のもとで最小なのかが自明ではないが、 「次元が最小」という意味だろう。
  • p109, line -9, ad($H$) は ad($H_i$).
  • p109, line -1, 右辺。$\alpha_i(X)$ は $\alpha_i(H) X$.
  • p110, line 6. 「すべての $H$」は「すべての $H \in \mathfrak{h}$」と書きたい感じ。
  • p114, 命題4.9(1) の証明の2行目。 大きな式の1行目の2つ目の等号の直後の$ -[$ と $X$ の間の余分な空白を取り除く。
  • p114, line -6. 最小値は最大値。次の行の min は max。
  • p114, line -4 からline -3までの2文。 line -5 から直ちに (ad($X$)ad($Y$))$^m=0$ となるので、ad($X$)ad($Y$)は冪零変換である。
  • p127, コラム。 「$a_{ij} \neq 0$ が有限個」ならば、 「$\exists N, |i-j| \gt N$ ならば $a_{ij}=0$」が 成り立ってしまうので、 $\mathfrak{gl}_\infty \mathbb{C} = M_\infty \mathbb{C}$ となってしまい、 それは著者の意図と異なるだろう。 おそらく、M_\infty(\C) の定義が変。
  • p210, 例7.3. ここでは $1 \in I$ と仮定して、$I=\{1,2,3\}$ を導いている。分解可能(p209, line -7)の条件が $I,J$ について対等ではないので、$1 \in J$ の場合も証明を与える必要があるのではないだろうか?すなわち、ここで与えられている証明だけだと $A= \begin{pmatrix} 0 \quad 1 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \end{pmatrix}$ でも同じこと(つまり $1 \in I$ ならば $I=\{1,2,3\}$) が証明できてしまうが、この $A$ は $I= \{ 2,3\}, J=\{1\}$ として分解可能である。
  • p213, line 6. 新しい段落が「数理物理学の...」といきなり始まるが、「何が」という主語を補った方が読みやすい。
  • p225, line 10. 「そこで」 前文は基底や次元に関することなので、 これから説明する記号法の理由にはなっていないように感じる。
  • p238, line 6. 「一方 $Av=\lambda v$」。 section B では $v$ や $\lambda$ は初出だが、どうやら、 p99 の文脈を引き継いでいる、と読むようである。
  • p263, line -5. $\mathfrak{so}$ の添字の $1$ を取り除く。
  • p268, 問題3.2, line 2. 「したがって」の前に ad($f(X)$) = $f \circ$ ad($X) \circ f^{-1}$ を 書いておきたい気もするが、くどいかな?
  • p266, 問題2.6. 補足。 line 2の「より」からすぐに導かれる式は 「$\delta_{ik} z_{jl} = z_{ki} \delta_{jl}$」である。 この式で $i=k$ の場合を書けば、line 3 の冒頭の式が得られる。
  • p268. 問題3.2. 問題の「問」と「題」の間になぜか隙間が空いている。「題」と「3」の間の空白も他の問題よりも広い。
  • p268, 問題3.5. ad($p$) の non-zero entry $-1$ の場所は (2,2) 成分ではなく (1,2) 成分。
  • p269, 問題3.6. 冒頭のところ「$X \neq 0$ を $X=aE+bF+cH \in \mathfrak{a}$と表す」は「$0 \neq X \in \mathfrak{a}$ を $X=aE+bF+cH$ と表すと」が良い。
  • p269, 問題3.6. 2行目。$[E,X]$ の右辺の $-2E$ は $-2cE$.

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Last-modified: 2019-05-15 (水) 18:30:54 (36d)