ochiai/nomuraHarmonic - PukiWiki
  • p43, 補題3.3.1(2) の脚注23。補足。 一般に、可測部分集合 $E\subset X$ に対して、$R: L^1(X) \ni f \mapsto \chi_E f \in L^1(E)$ と定義すると、$\varphi_{\chi_E}(f) = \int_E R(f) d\mu$ である。 ところが、この脚注の2行目の$E$ に対しては、$L^1(E)= \{0\}$ である(!)ので、 $R$は零写像であり、 $\varphi_{\chi_E}$ も零写像となる。
  • p84, 補題5.5.4. $n\ge 2$ とする。$n=1$ の時は $SO(1,\mathbb{R})$ が1点、$S^{0}$ が2点だから、推移的に作用しないので。なお、証明のどこで $n\ge2$ を使っているかを吟味すると、証明の4行目で$\mathbf{f}_1=\mathbf{u}$ とし、証明の7行めで $\mathbf{f}_n$ を $-\mathbf{f}_n$ としているので、$n\neq1$ であることがimplicit に使われている。
  • p169, line 6. $R$ は $\mathbb{R}$.
  • 著者のページに $e^z=z+1$ が無限個の解を持つことの証明が与えられている。少しアレンジした解法を与えてみよう:$z=x+iy$ として、方程式 $e^z=x+iy$ の「実部と虚部」を書くと、$e^x \cos y = x+1$, $e^x \sin y = y$ となる。各自然数 $n$ に対して、この連立方程式が、$2n\pi + \frac \pi4 \lt y \lt 2n\pi + \frac \pi2$ の範囲で少なくとも一つ、解を持つことを示せばよい。2つ目の式を $x$ について解くと$x=\log \frac{y}{\sin y}$ となる。これを第1式に代入すると、$\frac{y\cos y}{\sin y} = 1+ \log \frac{y}{\sin y}$ となる。両辺の差として $f(y) = \frac{y\cos y}{\sin y} - 1 - \log \frac{y}{\sin y}$ を定義する。$a_n = 2n\pi + \frac \pi4$, $b_n = 2n\pi + \frac \pi2$ とおく。$f(y)$ は $a_n \lt y \lt b_n$ の範囲で連続だから、$f(a_n) \gt 0$, $f(b_n)\lt 0$ を示せば、中間値の定理より、$f(y)=0$ となるような $a_n\lt y \lt b_n$ が存在することがわかる。$f(b_n) = -1 - \log b_n \lt 0$ はすぐわかる。一方、$f(a_n) = a_n -1 - \log a_n - \log \sqrt{2}$ なので、$t\gt 6$ の範囲で $t-1-\log t -\log \sqrt{2} \gt 0 $ を言えばよい。これは例えば、$\log t = \log 2 + \log (t/2) \lt \log 2 + \frac t2 -1$ から従う。  コメント1:この証明では、中間値の定理を使っているだけで、関数の微分はしていない。コメント2:この解を $y_n$ と書くと、この方程式の解は $z_n = \log \frac{y_n}{\sin y_n} + i y_n$ とその複素共役 $\bar{z}_n = \log \frac{y_n}{\sin y_n} - i y_n$ だけしかないことも(もう少し関数の増減を丁寧に見れば)証明できる。しかし、無限個の零点があることを示すだけであれば、そこまでの必要はない。

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Last-modified: 2019-06-12 (水) 22:45:59 (7d)