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原付免許筆記試験方式で学ぶ位相空間論

このページには遊びの内容しか含まれていませんので、このページの内容は自由に転載してかまいません。このページに誤りがあることによって単位が取れなくて卒業できなかったなどの損害の責任を負うことはできませんが、可能な限り間違いは正していきますので、もし見つけたらご一報ください。なお、記号などは松坂和夫「集合・位相入門」岩波書店に従います。（落合啓之）

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２年生へ、期末試験は２月５日（月）に行います。

真偽を判定せよ(2017. Dec. 18).

• $\mathbb{R}$ の被覆 $\{ (-x,x) \mid x \in \mathbb{R}, x\gt 0 \}$ に対して、 $\{ (-n,n) \mid n \in \mathbb{N} \}$ は部分被覆である。答え
• $N \subset M$ とする。$M$ の被覆 $\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}$ は $N$ の被覆でもある。 答え
• 連結性は位相的性質である。答え
• コンパクト性は位相的性質である。答え

真偽を判定せよ(2017. Dec. 11).

• 連結成分は連結。答え
• $S \times \{ t \} \subset S \times T$ は $S$ と同相。答え
• 連結集合の閉包も連結。答え
• 連結集合の開核も連結。答え
• 無限集合 $S$ に補有限位相を入れた時、$S$ の空でない部分集合は連結。答え
• 有限集合 $S$ に補有限位相を入れた時、$S$ の空でない部分集合は連結。答え

真偽を判定せよ(2017. Nov. 27).

• $N \subset M \subset S$. $N$ が $M$ で閉ならば $S$ でも閉。答え
• $N \subset M \subset S$. $\overline{N}$ を $N$ の $S$ での閉包とすると、 $\overline{N} \cap M$ は $N$ の $M$ での閉包。答え
• $f : S \rightarrow S'$. $f(S) \subset M' \subset S'$ とする。 $f'_1:S \rightarrow M'$ を $f'_1(x) = f(x)$ で定める。 この時、$f$ が連続なら $f'_1$ も連続。答え
• 同じ状況で、$f'_1$ が連続なら $f$ も連続。答え
• $f,g$ はともに $S$ から $(S', \mathfrak{O'}$ への写像であるとする。 $\mathfrak{O}_f, \mathfrak{O}_g$ は $f,g$ の誘導する $S$ の位相とする。 この時、$\mathfrak{O}_f \cup \mathfrak{O}_g$ は位相である。 答え
• $f(t) = 1-t^2, g(t)=t-t^3$ によって、$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ を定める。 $f,g$ がともに連続となるような最も弱い位相は、$\mathbb{R}$ の通常の位相と一致する。 答え

真偽を判定せよ(2017. Nov. 13).

• $f:S \rightarrow S'$ が連続ならば、$O \in \mathfrak{O}$ に対して、 $f(O) \in \mathfrak{O}'$. 答え
• $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ が連続ならば、 実数$a$ に対して、$\{ x \in S \mid f(x) =a \}$ は $S$ の閉集合。答え
• 単射な開写像は閉写像。 答え
• 全単射な開写像は閉写像。 答え
• 全単射な連続写像は開写像。答え
• 全単射な開写像は連続写像。答え
• 集合 $S$ 上の２つの位相 $\mathfrak{O}, \mathfrak{O}'$ に対して、 恒等写像 $f:(S, \mathfrak{O}) \rightarrow (S, \mathfrak{O}')$, $f(x)=x$ を考える。 $f$ が同相写像であることと２つの位相が一致することは同値。 答え
• $f$ が連続写像であることと、$\mathfrak{O}$ が $\mathfrak{O'}$ より強い位相であることは同値。 答え
• $f$ が開写像であることと、$\mathfrak{O}$ が $\mathfrak{O'}$ より弱い位相であることは同値。 答え
• どの１点も閉集合となる最も弱い位相は補有限位相である。答え
• $\mathbb{R}$ の５つの位相「離散位相、下限位相、通常の距離による位相、補有限位相、密着位相」は、強い順に並んでいる。答え

真偽を判定せよ(2017. Nov. 6).

• 位相から基底は一意に決まる。答え
• 同じ位相空間の２つの基底 $\mathfrak{B}_1, \mathfrak{B}_2$ に対して、 $\mathfrak{B}_1 \subset \mathfrak{B}_2$ または $\mathfrak{B}_1 \supset \mathfrak{B}_2$ が成り立つ。答え
• 同じ位相空間の２つの基底 $\mathfrak{B}_1, \mathfrak{B}_2$ の濃度は等しい。答え
• $\mathfrak{M}$ を準基底とする。$x \in O \in \mathfrak{O}$ ならば $M \in \mathfrak{M}$ で $x \in M \subset O$ となるものが存在する。答え
• $\mathfrak{B}$ を基底とする。$x \in O \in \mathfrak{O}$ ならば $W \in \mathfrak{B}$ で $x \in W \subset O$ となるものが存在する。答え

真偽を判定せよ(2017. Oct. 30)。

• 近傍は開集合である。答え
• $x$ が $V$ の内点であることと $V$ が $x$ の近傍であることは同値である。答え
• すべての $M \subset S$ に対して、 $M^{i_1} \subset M^{i_2}$ かつ $M^{a_1} \subset M^{a_2}$ ならば、 $\mathfrak{O}_1=\mathfrak{O}_2$ である。答え
• ２つの異なる位相 $\mathfrak{O}_1 \neq \mathfrak{O}_2$ に対して、 $\mathfrak{O}_1 \leq \mathfrak{O}_2$ あるいは $\mathfrak{O}_2 \leq \mathfrak{O}_1$ のいずれかが成り立つ。答え
• $\forall V \in \mathbf{V}(x), \forall y \in V, V \in \mathbf{V}(y)$. 答え

真偽を判定せよ(2017. Oct. 23)。

• 各点からなる集合 $\{x\}$ が開集合ならば、離散位相。答え
• 各点からなる集合 $\{x\}$ が閉集合ならば、離散位相。答え
• $\mathfrak{O} \cap \mathfrak{A} = \{ \emptyset, S\}$. 答え
• $\mathfrak{O} \cap \mathfrak{A} = \{ \emptyset, S\}$ ならば密着位相。答え
• 位相 $\mathcal{O}$ から$\mathcal{A}$ は一意的に決まる。答え
• 開核作用子 $M \mapsto M^\circ$ から位相 $\mathcal{O}$は一意的に決まる。答え

真偽を判定せよ(2017. Oct 16)。

• 何も見ないで開集合の公理 Oi, Oii, Oiii を書ける。
• 何も見ないで開核作用素の公理 Ii, Iii, Iiii, Iiv を書ける。
• $\mathfrak{O}$ は $S$ の部分集合である。答え
• $S$ が無限集合ならば $\mathfrak{O}$ も無限集合である。答え
• $O \in \mathfrak{O}$, $O \neq \emptyset, O \neq S$ ならば、$O^c \notin \mathfrak{O}$. 答え
• $x \notin M$ ならば、$x$ が $M$ の触点であることと集積点であることは同値。答え
• $x \in M$ ならば、$x$ は必ず $M$ の触点。答え
• $x \in M$ ならば、$x$ は $M$ の集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。答え
• $S$ の任意の点が $S$ の孤立点であれば、離散位相である。答え

真偽を判定せよ(2017. Feb 6)。

• 同じ集合上の２つの距離によって位相が同相であれば、同じ距離である。答え
• 同じ集合上の２つの距離によって位相が同相であれば、一つの距離はもう一つの距離の正の定数倍である。答え
• ２つの距離空間が同相であれば、片方が有界ならもう一方も有界。答え
• 位相空間には距離が入る。答え

真偽を判定せよ(2017. Jan 30)。

• $\mathbb{R}$ のコンパクト集合は有界閉区間。答え
• $\mathbb{R}$ のコンパクト集合は有界閉区間の有限個の和集合。答え
• $\mathbb{R}$ の有界閉区間の（無限個の）和集合はコンパクト。答え
• $\mathbb{R}$ のコンパクト集合で内部が空集合なら、可算集合。答え
• 有限個の点はどんな位相でもコンパクト集合。答え
• どんな部分集合もコンパクトになる位相空間は密着位相空間である。答え
• $T_3$ の分離公理を満たせば Hausdorff 空間になる。答え

真偽を判定せよ(2017. Jan 23)。

• 連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S$ がコンパクトなら $S'$ もコンパクト.答え
• 連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S'$ がコンパクトなら $S$ もコンパクト.答え
• 全単射連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S'$ がコンパクトなら $S$ もコンパクト.答え
• 全単射連続写像 $f:S \to S'$ は同相写像.答え
• コンパクト集合と有限集合の直積集合はコンパクト集合.答え

真偽を判定せよ(2016.Dec. 5)。

• $A \cap B = \emptyset$ ならば $\overline{A} \cap \overline{B} = \emptyset$.答え
• 開集合 $A, B$ が $A \cap B = \emptyset$ を満たせば、$A \cap \overline{B}= \emptyset$.答え
• $x \in S$ に対して、集合 $\{ y \in S \mid y \sim x$ ではない $\}$は開集合である。答え
• $S= \{ \frac 1n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 0 \} \subset \mathbb{R}$ とする。 $0 \in S$ の連結成分は $\{0\}$ である。答え

真偽を判定せよ(2016.Nov.28)。

• ２つの離散位相空間の直積空間は離散位相空間である。答え
• 無限個の離散位相空間の直積空間は離散位相空間である。答え
• 射影 $S_1 \times S_2 \rightarrow S_1$ は連続である。答え
• $M_\lambda$ を $S_\lambda$ の空でない真部分集合であるとする。 $\Lambda$ が無限集合のときに、$\prod_{\lambda \in\Lambda} M_\lambda$ は $\prod_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda$ の開集合には決してならない。答え
• $M$ が連結で、$N \subset M$ のとき、$N$ は連結である。答え

真偽を判定せよ(2016.Nov.14)。

• $f:S \rightarrow S'$ が同相写像、$g: S' \rightarrow S''$ が連続写像であれば、$g \circ f$ は連続である。答え
• 同じ集合の上の二つの位相$\mathfrak{O}_1, \mathfrak{O}_2$ に対して、$\mathfrak{O}_1$ が $\mathfrak{O}_2$ よりも強くないならば、$\mathfrak{O}_2$ は $\mathfrak{O}_1$ よりも強い。 答え
• $A_1 \subset S_1$, $A_2 \subset S_2$ がそれぞれ閉集合の時、$A_1 \times A_2$ は直積集合 $S_1 \times S_2$ の直積位相に関して閉集合である。答え
• $M=\{(x,x) \mid x \in S \} = \{ (x,y) \in S \times S \mid x=y \}$ は $S\times S$ の閉集合である。答え
• $\mathfrak{B}_1$ を $(S, \mathfrak{O}_1)$ の基底とした時、$\mathfrak{B}_1 \times \mathfrak{O}_2$ は直積位相の基底となる。答え

真偽を判定せよ(2016.Nov.7)。

• 全単射な開写像は連続である。答え
• 全単射な開写像の逆写像は連続である。答え
• 全単射な連続写像の逆写像は開写像である。答え
• 全単射な写像$f$ による $M' \subset S'$の逆像は逆写像$f^{-1}$による$M'$の像に一致する。答え
• 連続な閉写像は開写像である。答え
• 連続な開写像は閉写像である。答え
• 基底 $\mathfrak{B}$ に対して、 $M$ が $x$ の近傍である必要十分条件は、ある$W \in \mathfrak{B}$ such that $x \in W \subset M$ である。 答え
• $\overline{M}=S$ の時、$M$ はちょうみつであるという。答え

真偽を判定せよ(2016.Oct.31)。

• 近傍は開集合である。答え
• 離散位相空間の稠密な部分集合は全体集合である。答え
• $x$ が $V$ の内点であることと$V$ が$x$ の近傍であることは同値。答え
• $\mathfrak{M} =\{ (a,\infty) \mid a \in \mathbb{R} \}$ は $\mathbb{R}$ の通常の位相の準基底である。答え

真偽を判定せよ(2016.Oct.24)。

• 位相 $\mathcal{O}$ から$\mathcal{A}$ は一意的に決まる。答え
• 開核作用子 $M \mapsto M^\circ$ から位相 $\mathcal{O}$は一意的に決まる。答え
• 位相から準基底は一意に決まる。答え
• 位相から基底は一意に決まる。答え
• 準基底ならば基底。答え
• 非可算集合は第２可算公理を満たさない。答え

真偽を判定せよ(2016.Oct.17)。

• $\mathcal{A} = \mathcal{O}^c$ である。答え
• $\mathbb{R}$ の通常の位相に関して、$M=[0,10] \cap (無理数)$, $N=M^c$ と定義する。 $\sqrt{2}$ は $M$ の集積点である。答え
• $\sqrt{2}$ は $N$ の孤立点である。答え
• $\sqrt{2}$ は $N$ の触点である。答え
• $\sqrt{2}$ は $N$ の内点である。答え

真偽を判定せよ(2016.Oct.11)。

• 位相 $\mathcal{O}$ は全体集合 $S$ の部分集合である。答え
• どんな位相を考えても空集合は開集合である。答え
• $\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \lt 2 \}$ は開集合である。答え
• $\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \leq 2 \}$ は開集合にはならない。答え
• 何も見ないで開集合の公理 Oi, Oii, Oiii を書ける。
• 何も見ないで開核作用素の公理 Ii, Iii, Iiii, Iiv を書ける。
• 何も見ないで開核の特徴付け (2.1), (2.2), (2.3) が書ける。

真偽を判定せよ。

• $[1,5]$ は閉集合である。答え
• $[1,5]$ は開集合である。答え
• $[1,5)$ は閉集合である。答え
• $[1,5)$ は開集合である。答え
• $[1,\infty)$ は閉集合である。答え
• $[1,\infty)$ は開集合である。答え
• $[1,5]$ は有界である。答え
• $(1,5)$ は有界である。答え
• $[1,5)$ は有界である。答え
• $[1,\infty)$ は有界である。答え
• $[1,5]$ 上の連続関数は有界である。答え
• $[1,5)$ 上の連続関数は有界である。答え
• $[1,5]$ 上の連続関数の像は閉集合である。答え
• $[1,5)$ 上の連続関数の像は決して閉集合にならない。答え
• $[1,5]$ は連結である。答え
• $[1,5)$ は連結である。答え
• $(1,5)$ は連結である。答え
• 部分位相はハサミを、商位相は糊を表す。答え
• ２つの有界閉区間の和集合は有界閉区間である。答え
• ２つの有界閉集合の和集合は有界閉集合である。答え
• 無限個の有界閉集合の和集合は有界閉集合である。答え
• 全体集合は近傍である。答え
• 全体集合は開集合である。答え
• 全体集合は閉集合である。答え

• どんな位相でも、１点と２点は同相にならない。答え
• ２点からなる集合に密着位相を入れた時と、１点からなる集合に密着位相を入れた時に、 開集合の個数は同じである。答え

集合論だけど

• 可算集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。答え
• ２個からなる集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。答え
• ２個からなる集合の無限個の直積は必ず非可算集合である。答え
• 可算集合の２個の直積は可算集合である。答え
• 可算集合の有限個の直積は可算集合である。答え
• 可算集合の可算個の和集合は可算集合である。答え
• 代数的な数の全体は可算集合である。答え
• 複素数の全体は非可算集合である。答え