ochiai/algebra の履歴(No.1)

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  • 1 (2012-05-10 (木) 08:51:51)
  • 2 (2012-05-10 (木) 10:05:09)

ochiai/class 教科書の第２章（群の定義）から始める。 2.1 節：群の定義 乗法表はしなかった。 簡約法則(命題2.1.8)はしていない。 単位元や逆元の一意性(命題2.1.10)はしてない。

置換群 S_n の定義はした。互換、巡回置換という用語を定義し忘れた。 一般線形群の定義はした。（実係数）

2.2節：環と体の定義 環、単元、A^\times の定義はした。体の定義はした。 Z^\times ={1,-1}, M_n(\R)^\times = GL_n(\R) はした。 Z/nZ はやってない。 modulo もまったく言及していない。これらは演習で。

2.3節：部分群と生成元 部分群の共通部分は部分群(命題 2.3.3)の証明はした。 自明な部分群、真部分群の用語を定義し忘れた。 SL_n や O(n), U(n) などの定義および部分群であることはいっさい触れてない。 四元数群、モジュラー群もしてない。

群の生成に関しては、S が複数の元からなっているときにもS を生成元と教科書 では呼ぶようであるが、日本語では気持ちが悪いので生成系と講義では呼んだ。 学生は教科書を見て、生成元と呼ぶかもしれない。（それはそれでいいけど。） 命題2.3.13(word の全体が部分群になること、および、最小性)の証明はしてな い（この辺りで時間が足りなくなった。）

巡回群の定義(2.3.16)のところが講義の述べ方では不正確。 １つの元で生成される部分群を巡回群と呼んだが、正式には巡回部分群というべ きであり、 「１つの元で生成されるときに G を巡回群と呼ぶ」という一文が講義では抜け ている。すみません。

一つの元で生成される部分群が \{ x^n \mid n \in \Z \} という形になってい ることは述べた。（p34) これが無限集合とは限らない可能性は言及した。 直積はまったく触れていない。 G=S_3 の場合の生成された部分群の例(2.3.20)もやってない。

2.4節：元の位数 元の位数は定義して、 S_3 の位数2,3 の元の例(例2.4.4)は挙げた。 ここまででtime up.