「計算機代数の基礎理論」長坂、岩根、北本、讃岐、照井、鍋島、共立出版, 2019.
- p55, line 14 の事例。ちょっと趣旨がよくわからないのだが、, f(x) = x^2+13x+42, g_0(x)=x+1, h_0(x)=x+2, d=3, の場合に、g_3(x) = x+6, h_3(x) =x+7 は適格だと思うのだが、g_3(x) = 7x+42, h_3(x) = 18x+1 は、条件 g_3(x) \equiv g_0(x) \mod p, h_3(x) \equiv h_0(x) \mod p を満たしていないように思う。
単元倍による不定性であれば例えば g_3(x) = 6x+36 のような事態を想定している?いや、おそらくもっと適切な事例があるのだと思う。
- 定理3-37. 十分性の証明。本の証明で正しいが簡潔にできそう。\gcd(f,f') \neq 1 とする。g | \gcd(f,f') を既約多項式とする。f(x) = g(x) h(x) と書ける。f' = g h' + g' h と g | f' より、g | g' h である。g' の次数が g の次数未満であることから g' は g で割り切れないから、 g の既約性より g|h である。すなわち、h(x) = g(x) k(x) であり、f(x) =g(x)^2 k(x) となる。証明終わり。
- アルゴリズム5-1の中の g_i(x) と、定理5-15の中のg_i(x) は異なるものである。それぞれはそれぞれの subroutine の中で使われていて齟齬はないのだが、定理5-16 の証明に g_i(x) が現れたタイミングでアルゴリズム 5-1 と書いてあるので、ついついアルゴリズム 5-1 の g_i(x) と誤認しがちだが、ここの g_i(x) は定理5-15 の g_i(x) である。できれば異なる記号で書いたほうが親切では、と思いました。
- p144, line -10. 「すべて」。アルゴリズムを走らせると、最初の g(x) に対しても、ある \alpha に対する g(x)-\alpha が分離多項式になる可能性がある程度あると思う。その分離多項式を用いて f を2つの多項式の積に分けられるので次数が下がる。 g,\alpha の「すべて」を走らせる必要があるのだろうか。
- p144, line -6. 「事前計算」。結局 \mathcal{A} を求める時に、すべての \alpha に対する \gcd(f(x),g(x)-\alpha) を計算しているように思うので、どう効率的なのかがよくわからないです。
- p122, line 1. 分離多項式の定義。前のページの line -2 で「一部の i」と文章的に書いている。この「一部の i」 の趣旨は「全体でも空でもない」ということかな。数式を使うと、1 \neq \gcd(f,g) \neq f ということで良いか?
- p122, line 5. 「g(x)」は「分離多項式」としたい。line 14 の g(x) と、ここの g(x) は異なるので、ここで g(x) の文字を使いたくない感じがする。
- 同じ趣旨。3行目でも「g(x) として f-簡約多項式を扱った」は「分離多項式として f-簡約多項式を扱った」とか「f-簡約多項式を分離多項式に用いた」のように書きたい。
- 同じ趣旨。4行目でも「g(x) を無作為(ランダム)に」も「h(x) をランダムに」としたい感じ。ただ、h(x) はline 16 まで出てこないので、書きづらいけど。文字を使わないで、「ランダムに与えた多項式を用いて分離多項式を探索する」のように書くことも可能かな。
- p122, line 16. 「任意の」。任意の... が ... を満たす、と読めてしまうと誤り。
- p122, line 23. 「それら」。2行上の h(x)^e\pm 1 を指している。
- p123 の証明の最後の行。余事象を求めているところ、「\chi_i(h^e-1) (i=1,\ldots,k) の値がすべて等しく」なる確率を (1/2)^k と積で求めている。一つ一つが 1/2 であることは line 8 に解説済みであるが、「i に関して互いに独立事象である」ということをどこかで示しているだろうか?