野村隆昭：複素関数論講義（共立出版）
- p256, 問題10.44 の解答。ならびに、p153 のヒント「要領よく計算」。
「$a$ を消去して、$\alpha$ で書き直す」のが見通しが良いように思う。
$f(z)=0$ は$z=\alpha$ を根に持ち、monic で定数項が$1$ なので、もう一つの根は $z=\alpha^{-1}$ である。つまり、$f(z)=(z-\alpha)(z-\alpha^{-1})$ である。$g(z)$ もおなじように考察すると、$g(z)=(z+i\alpha)(z+i \alpha^{-1})$ である。これに対して、「まるいち」の最後の２項をそれぞれ計算して行く。複素数を含んでいるものの、因数分解されている形なので、$\alpha$ の有理式として計算していって、面倒にはならない。しかも、和の２つの項の共通因数が早い段階で見えるので、気の利いた工夫をするよりは、機械的に計算して行けるように思う。結果は $J=\alpha^4/(1+\alpha^4)$ ときれいな形になる。むしろ問題は、これを $a=-(\alpha+\alpha^{-1})/2$ であるような $a$ で書き直して答えの式を得るところにあるかもしれない。
- 問題10.60(1).
$x=e^{t/4}$ と変数変換すると、(あ)$=\displaystyle \frac{1}{16} \int_{-\infty}^\infty \frac{t e^{t/4}}{1+e^{t}} dt$,
(い)$=\displaystyle \frac{1}{16}\int_{-\infty}^\infty \frac{t e^{3t/4}}{1+e^{t}} dt$ である。一般に、$0\lt a \lt 1$ に対して、 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{t e^{a t}}{1+e^{t}} dt$を計算する。形式的には問題10.58の答えを $a$ で微分したものになる。あとで書きます。
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