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高瀬正仁「古典的難問に学ぶ微分積分」共立出版
- 講義の準備をした上で気がついた点
- p37, 問題1.2の解答。line 9 まで行った段階で、 と変数変換すると、
\displaystyle \int_1^{\frac1y} \left( \frac1t-\frac1{\sqrt[3]{1+t^3}}\right)dt
=\int_y^1 \left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{1+s^3}} \right) \frac{ds}{s}となる.
line -5 と同じ変形によって、
=\displaystyle\int_y^1 \frac{s^2}{\sqrt[3]{1+s^3}(\sqrt[3]{1+s^3}^2+\sqrt[3]{1+s^3}+1)} ds
となる。最後の式の被跡分関数は 0 \le s \le 1 で連続なので、可積分であり、y\to+0 の時に極限値
\displaystyle\int_0^1 \frac{s^2}{\sqrt[3]{1+s^3}(\sqrt[3]{1+s^3}^2+\sqrt[3]{1+s^3}+1)} ds に収束する。
- p38, 問題1.3。g(x)=\sin x と置くと、\displaystyle f(x) = \frac{1}{g(x)-g(\alpha)} - \frac{1}{(x-\alpha) g'(\alpha)}である。右辺を通分して変形すると、
\displaystyle f(x)= - \frac{g(x)-g(\alpha)-g'(\alpha) (x-\alpha)}{(x-\alpha)^2} \cdot \frac{x-\alpha}{g(x)-g(\alpha)} \cdot \frac{1}{g'(\alpha)} となる。
右辺の第１項、第２項のx\to\alpha における極限値はそれぞれ、\frac12 g^{\prime\prime}(\alpha), 1/g'(\alpha) であり、これより、\displaystyle \lim_{x\to\alpha} f(x) = -\frac{g^{\prime\prime}(\alpha)}{2g'(\alpha)^2} となる。
- p52, 問題1.9. まず、与えられた曲線は有理パラメータ表示を与えることができる。実際、t=x/y という変数を導入して、x を消去すると、\displaystyle y= \frac{t^2-1}{t^2}, したがって、\displaystyle x= \frac{t^2-1}{t} と表すことができる。これらの式を、f(x,y)に代入すると、f(x,y) = \displaystyle \frac{t^2(t+5)}{1+t-6t^2} と表すことができる。この式を g(t) とおく。
さて、上のパラメータ表示で (x,y)=(0,0) となるのは、t=\pm1 のときである。
t=1, t=-1 のとき、それぞれ、g(1) = -\frac32, g(-1)=-\frac23 である。これは、本にある解答の数値と一致する。
- p127. 広義積分\displaystyle \int_0^\infty \frac{dy}{y^3+1}.
まず、\displaystyle \frac{1}{y^3+1} = \frac12 \frac{1-y}{y^3+1} + \frac12 \frac{1+y}{y^3+1} なので、
\displaystyle \int_0^\infty \frac{dy}{y^3+1} =
\frac12 \int_0^\infty \frac{1-y}{y^3+1} dy + \frac12 \int_0^\infty \frac{dy}{y^2-y+1} となる。
右辺第２項の積分は、本の p128 の方法で計算する。ここでは右辺第１項に現れる積分 I= \displaystyle \int_0^\infty \frac{1-y}{y^3+1} dy を扱う。y=1/z と変数変換（置換積分）することで、I=-I がわかる。従って、I=0 である。
- p128, 問題2.8.
問題文に与えられている誘導とは異なるが、
f(A,a) の定義式で、x=at と置換積分すると、
a^3 f(A,a) = \int_0^{A/a} \frac{dt}{t^4+4} がわかる。従って、
\displaystyle\lim_{a\to\infty}a^3 f(A,a) = \int_0^0 \frac{dt}{t^4+4}=0 となる。
なお、
\displaystyle\lim_{a\to+0}a^3 f(A,a) = \int_0^\infty \frac{dt}{t^4+4} となり、この値を計算するのは、教科書通り。（あるいは、留数解析）
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