ochiai/yukie1 の履歴(No.2)

雪江明彦「代数学1」日本評論社

講義をした上での注意点
$(a^n)^{-1}= a^{-n}$ これだと定義そのものっぽい。いいたいことは $(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n$ か？
例2.1.5. $A^\times = A \setminus \{0\}$ と定義しているわけではない。page 26 の中程の定義と、例2.2.4 に注意。例えば、 $\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ は $\mathbb{Z}^\times$ ではない。
例2.2.4. $M_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R})$ は「 $n\geqq 2$ のときに」非可換。
命題2.3.2 の証明の前半。 $y=x^{-1} \in H$ は $x^{-1}=y \in H$ と書きたい。証明の後半。条件(2) より、群演算が $H \times H \rightarrow H$ という写像を定めること、に言及しておきたい。
命題2.4.18. $d$ の登場するところで条件 $d>0$ は（位数と言った時点で）自動的に成り立っているので、各必要はない。（改めて書かれると、真意を汲むのが難しい。） (1) $\Rightarrow$ (2) の証明。 $H = \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m =1 \}$ とすると、 $H$ は $\mathbb{Z}$ の部分群である。命題 2.4.17 より、整数 $f \geqq 0$ があり、 $H=f\mathbb{Z}$ となる。 $d \in H$ なので、「 $d$ は $f$ の倍数である」。 $d>0$ なので $f\neqq 0$ すなわち $f>0$ である。位数の定義( $d$ の最小性)より、「 $d \leqq f$ である」。以上の２つの「」をあわせて、 $f=d$ である。さて、仮定(1) より $n \in H$ なので、 $n$ は $f$ の倍数である。これは(2) を意味する。証明終わり。コメント： $n$ はこの命題中で固定されているので、 $H$ を定義するときの変数としては別の文字を使うべき。また、本質的にこの本の証明と同じだが、「 $n=0$ の場合のみなので」の部分で $d$ についての仮定を使っていることを明示してみた。