Loading [MathJax]/config/local/local.js
磯崎・筧・など共著：微積分学入門（培風館）
- 講義をした上での注意点。
- page 27, line -5. 「代入するものが x=0 において 0 になり、しかも x のべきのとき」x+x^2 のようなものだとうまく行かない。
- page 33, 例題 1.23(3). (e^x-e^{\sin x})/x^3 = (e^x - e^{\sin x})/(x - \sin x) \times (x -\sin x)/x^3 と分解してから、後者に page 35 の計算（テーラー展開）を適用することも可能。問題 1.19(3) でも、そのような工夫された解答（＝テーラー展開をあまり使わない方法）があった。(\cot x - 1/x)/x =( (x-\sin x)/x^3 - (1-\cos x)/x^2) \times (x/\sin x).
- page 37
- 例題 2.6(2)(3), 問題 2.3(2)(3). 逆関数の積分は一度、置換積分して逆関数を解消するという手法も有効。
- page 54, 例題 2.9(1) は例題 2.7(3)から従う。問題 2.6(1) は例題 2.7(1) から従う。単独の問題として不定積分を経由する必要はないので成立するが、演習問題の解としてそのような１行解法を採用する学生がある。
- 部分分数展開の一意性を page 60 の冒頭の段階で言っておくと良い。
- page 61, line 6. 部分分数展開の一意性を使えば、この検算の過程は不要。ただし、教育的配慮としては、部分分数展開の形を誤って覚えている場合に、この検算でその誤りを発見できるので、検算として有用。
- page 74. 広義積分でも置換積分できるに言及しておくと便利。
- page 75, 例題 2.20(1) 不定積分が可能で、値が求まる(32/35)。値を求める解法でも広義積分の収束の証明としては正しい(2.7.2節)。
- page 77, 問題 2.16(3) 被積分関数は積分区間上で有界。積分の収束を判定させる問題として意味があるが、問題文を「広義積分」でなく、「積分」としたらどうか。なお、これも値が求まり、100!/2^101.
- 問題 3.19. 関数 f は、 (x,y) の関数と z の関数の和なので、それぞれの変数に関する極値問題に帰着されてしまう。（本質的に２変数の例なので、この節の解説が活きない。）
- 3.6 節。なお、条件付き極値問題を解く方法は未定乗数法だけではない。特に、例題 3.17 や問題 3.21, 22, 23 では、制約条件 g(x,y)=0 で表される曲線が楕円や直線なので、簡単なパラメータ表示が可能であり、それを目的関数 f に代入して１変数の極値問題とするのが現実的である。3.21(4) も有理パラメータ表示が可能。問題文にあるように「未定乗数法を用いて」と書かないと、定期試験などで出題者側が足をすくわれる。教科書はそこを上手に書いている。
- 例題 4.12(2). 変数変換 (x,y) = (x, xt) によって、領域 D は長方形領域に写され、積分は１変数に帰着される。（被積分関数が同次であることも効いている。）なお、log(1+sqrt(2)) は、page 67, 例題 2.15(2) に由来。
- 例題 4.15, line -5. この式は page 79, 問題 2.18(2) で証明済み。
逆に、２章の段階で、ここを視野において、m,n を実数として証明が成立することを言及しておく。
- 問題 4.19. 高さ2a の円柱の半分なので、体積は円柱の半分、とすると小学生で解答可能。それはともかく、
解答例。ここにあるいように奇関数を利用するのなら、 tを theta に置換する前にその項は消去できる。
残った偶関数の項は円の面積。つまり、小学生の解答を式で再現していることになる。
- page 193, 問題 1.4 の解答。説明の向きとして「sin y = sin x, -\pi/2 \le y \le \pi/2」を解く、という問題だと思って、「-\pi/2 \le x \le \pi/2 のときは y=x」「\pi/2 \le x \le 3\pi/2 のときは、-\pi/2 \le \pi -x \le \pi/2 で、\sin y= \sin x = \sin (\pi -x) なので y=\pi-x 」と進む方が飲み込みやすいようである。
![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
