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野村隆昭：複素関数論講義（共立出版）
- p256, 問題10.44 の解答。ならびに、p153 のヒント「要領よく計算」。
「 を消去して、\alpha で書き直す」のが見通しが良いように思う。
f(z)=0 はz=\alpha を根に持ち、monic で定数項が1 なので、もう一つの根は z=\alpha^{-1} である。つまり、f(z)=(z-\alpha)(z-\alpha^{-1}) である。g(z) もおなじように考察すると、g(z)=(z+i\alpha)(z+i \alpha^{-1}) である。これに対して、「まるいち」の最後の２項をそれぞれ計算して行く。複素数を含んでいるものの、因数分解されている形なので、\alpha の有理式として計算していって、面倒にはならない。しかも、和の２つの項の共通因数が早い段階で見えるので、気の利いた工夫をするよりは、機械的に計算して行けるように思う。結果は J=\alpha^4/(1+\alpha^4) ときれいな形になる。むしろ問題は、これを a=-(\alpha+\alpha^{-1})/2 であるような a で書き直して答えの式を得るところにあるかもしれない。
- 問題10.60(1).
x=e^{t/4} と変数変換すると、(あ)=\displaystyle \frac{1}{16} \int_{-\infty}^\infty \frac{t e^{t/4}}{1+e^{t}} dt,
(い)=\displaystyle \frac{1}{16}\int_{-\infty}^\infty \frac{t e^{3t/4}}{1+e^{t}} dt である。一般に、0\lt a \lt 1 に対して、 \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{t e^{a t}}{1+e^{t}} dtを計算する。問題10.58の積分路を使うのが良い。形式的には問題10.58の答えを a で微分したものになる。あとで書きます。
- 問題10.60(2).
x=e^t と変数変換すると、問題文の積分は、\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{\alpha t} \frac{t e^t}{e^{2t}-1} dt = \int_{-\infty}^\infty \frac{t e^{\alpha t}}{2 \sinh t} dt となる。例題10.52の積分路を使うと良さそう。
- 例題10.54. x=e^t と変数変換する。H(w):=F(e^w) と略記する。示すべき式は、\displaystyle (1-e^{2 \pi i \alpha}) \int_{-\infty}^\infty H(t) e^{\alpha t} dt = 2 \pi i \sum_{0\lt \mbox{Im} \beta \lt 2 \pi} \mbox{Res}_{z=\beta} (H(z) e^{\alpha z}) である。これを示すには問題10.58の積分路を使うのが良い。本の解法では \delta \gt 0 の取り扱いをする必要があるが、問題10.58の長方形の積分路ではその配慮が不要なので、作業が軽減される。また、長方形の左右の辺の長さが2\pi と有限なので、その辺上での積分値が小さくなることをFに関する仮定の条件から示すには、p161, line 5, line 7 にあるように H(z) e^{\alpha z} の値が小さくなることだけを見れば良い。（本の解法では、円弧BC の長さは長いので、簡単ではあるが計算を要する。）
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