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野村隆昭：微分積分学講義（共立出版）
- 講義準備をした上での注意点。
- 著者自身によるページ
- page 13, 例題2.6. 「 の場合に帰着する」ということをまず宣言する。すなわち、b_n := a_n - \alpha, t_n = \displaystyle\frac{b_1+\cdots+b_n}{n} と定義する.
ここで４つの主張を番号をつけて
(1) \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\alpha, (2) \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0,
(3) \displaystyle\lim_{n\to\infty} t_n =0, (4) \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n = \alpha と定める。このとき、t_n = s_n-\alpha なので、(3)と(4) は同値、(1)と(2) は定義より同値なので、(2)\Rightarrow(3) が示せれば、目的である (1)\Rightarrow(4) が示せることになる。ここから教科書の「解」を\alpha=0 として読めばよい。
- page 14, 問題2.7. 同じ技術を使う。b_n = a_n- \alpha, T_n = \displaystyle \frac{nb_1+(n-1)b_2+\cdots+2b_{n-1}+b_n}{n^2} と置くと、S_n = T_n +\displaystyle\frac{n+(n-1)+\cdots+2+1}{n^2}\alpha となるので、\alpha=0 の場合に示せばよい。
ここで、\displaystyle\left\vert S_n \right\vert \le \frac{n\left\vert a_1 \right\vert +(n-1) \left\vert a_2 \right\vert+\cdots+2 \left\vert a_{n-1} \right\vert + \left\vert a_n \right\vert}{n^2}
\le \frac{n\left\vert a_1 \right\vert +n \left\vert a_2 \right\vert+\cdots+n \left\vert a_{n-1} \right\vert +n \left\vert a_n \right\vert}{n^2}=\frac{\left\vert a_1 \right\vert + \left\vert a_2 \right\vert+\cdots+ \left\vert a_{n-1} \right\vert + \left\vert a_n \right\vert}{n} となる。
\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=0 ならば、\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left\vert a_n \right\vert =0 であり、例題2.6 より、\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left\vert a_1 \right\vert + \left\vert a_2 \right\vert+\cdots+ \left\vert a_{n-1} \right\vert + \left\vert a_n \right\vert}{n}=0 なので、「はさみうちの原理」により、\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n =0 である。
- page 17, 問題2.19. 直前の注意「命題2.14 を繰り返し使って」には反するが、証明の途中で使われる式 \displaystyle \lim_{n\to\infty} 3^{1/n} =3^0 の成立根拠を、命題2.14 の証明のレベルで与えることは、ここでは期待されていない。
- p112, 例5.96. この例で、「被積分関数は、、、、を得る」というような議論、、、のように括弧をつけたい。（してはいけないことが何なのかが読み取りづらいと思われるため。）
- p154, 例題6.79. 答えの解釈。1/n^3の係数が複雑な形をしているが、正体は、x_n = \displaystyle \left(n+\frac12\right) \pi - \frac1\pi \left(n+\frac12\right)^{-1} - \frac2{3\pi^3} \left(n+\frac12\right)^{-3} + o((n+\frac12)^{-3}) となっているものを n 冪で再展開したため、異なった項からの寄与が足されていることによる。
- p186, 例題7.24(1) の解。２行目で J(x) = \displaystyle 4x^2 \int_0^{\frac12} \sqrt{1-t^2}dt と特定した後で一度、I= \displaystyle \int_0^1 4x^2 dx \int_0^{\frac12} \sqrt{1-t^2}dt と書いておきたい。このあとは、x の積分とt の積分は相互に関係なく、それぞれ１変数の積分の問題である。（そして、教科書にはその計算が書いてある。）
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