ochiai/sl2 の履歴(No.4)

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  • 1 (2024-11-14 (木) 15:06:16)
  • 2 (2024-11-14 (木) 18:09:02)
  • 3 (2024-11-15 (金) 12:21:57)
  • 4 (2024-11-18 (月) 15:08:44)
  • 5 (2024-11-21 (木) 15:20:10)
  • 6 (2024-11-28 (木) 13:15:07)

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SL(2,R)の表現論、朝倉書店

訂正

• p47, 寄り道3.1.5の１行目。$K$は$\Lambda$に訂正。[読者からの指摘]

• p47, 定義3.1.9. 認容を容認に修正。[読者からの指摘]

• p47, 補題3.1.10 (1)の証明。p48 の２行目３行目４行目の $n$は不要で、$n=1$ としたもののみを用いて証明する。５行目の六箇所の$\overline{V}$ は全て $V$に変更する。[読者からの指摘]

• p48, 補題3.1.11 の証明の１行目。$v$ は $v_{\lambda_0}$ に訂正。[読者からの指摘]

• p49, 定義3.1.13の２行目。 $Z(\frak{sl}_{2})$は$Z(U(\frak{sl}_{2}))$に訂正。 [読者からの指摘]

• p49, 定義3.1.13。第２文を以下のように加筆する：なお $Z(U(\mathfrak{g}))$ の各元がスカラーで作用する表現を「無限小指標を持つ」と言う。この言葉遣いを用いるとき、$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2$ の場合には...(以下は本文)。[読者からの指摘への回答]

• p49, 補題3.1.14 の証明の冒頭。$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2$ とおく。[読者からの指摘]

• p59, 補題3.2.13 の２行上。$\nu-$ は $\nu^-$、つまり、上付き添字に訂正。[読者からの指摘]

• p134, 2行目で引用すべき本は[23]ではなくて、 同じ著者の代数学I に訂正。[読者からの指摘]

• p122, 下から２行目。$X^D$ は $X^0$.

• p154, A3.6.5の証明。ここでの説明は感覚的なものにとどまっている(後でゆっくり考えるが。)。例えば、$e^+ f(C,h)=f(C,h)e^+=e^+ f(C,h+2)$から$f(C,h)=f(C,h+2)$ と帰結している流れだが、その議論だと、普遍包絡環は零因子がないことを断らずに密輸している。 [読者からの指摘への返答]

補足

• p5の４行目。一般に、群$G$の中の部分集合 $X$ と元 $g$ に対して、$gX=\{ gx | x \in X\}$ と定める(なお、このような「集合と元の積」の記号の定義を本では書き忘れました、ごめんなさい)。すなわち、ここの $wNw^{-1}$は $=\{ w n w^{-1} \mid n \in N\}$ という「集合」である。補題1.2.7 の記号を先取りすると、$N=\{ n_x | x \in \mathbb{R} \}$ であり、元の積として $w n_x w^{-1} = \overline{n}_{-x}$ と計算できるので、集合 $w N w^{-1} = \{ \overline{n}_{-x} | x \in \mathbb{R} \} = \{ \overline{n}_{x} | x \in \mathbb{R} \} = \overline{N}$ が示せる。[読者からの質問への回答]

• p34, 2.1 節の最後の文「リー環の定義はA3.5.1で与えた.」。この文の背景として、ここまでの2.1節で登場したリー環は、正方行列の全体のような結合代数やその部分線型空間として実現されるものだけしか扱っていない、という「後ろめたさ」がある。必ずしも述べなくても良いような気もしてきたが、その後ろめたさの解消として、必ずしも結合代数から始まらないような「一般の」リー環の定義を付録のA3.5節で与えた、という含意をこのように短く書いてしまったので伝わりづらいと思う。[読者からの指摘への回答]

• p46 一般固有ベクトルを「一般固有値$\lambda$の一般固有ベクトル」ではなく、「固有値$\lambda$の一般固有ベクトル」と呼ぶ理由は、補題3.1.3 に述べた。すなわち、一般固有ベクトルが存在する$\lambda$ は必ず固有値にもなっている。[読者からの質問への回答]

• p47, 定義3.1.6 の後半。「すべての $\lambda$に対して、$\dim V_\lambda$ が有限」と加筆した方が親切でした。[読者からの示唆]

• p48, 命題3.1.11 の証明の最後。$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathbb{C} v_{\lambda_0+2k}$ がウエイト加群であることの証明には、カシミール元がスカラー$\mu$ で作用することは使わなくて良い。したがって、この命題を「さらに」の前半と後半で分けて、それぞれの主張を分けて書いた方が、どの性質がどこから従うかの責任の所在がはっきりする。[読者からの質問への回答]

• p49, 補題3.1.14の証明の最後の段落の２行目。「全射である」ことを言い換えると、$V=$U(\mathfrak{sl}_2) v $が成り立つ。このような$v$のことを$V$ の cyclic vector と呼ぶことがある。一般に、既約表現の零でないすべての元は cyclic vector である。

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