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雪江明彦「代数学1」日本評論社
- 講義をした上で気がついた点。
- なお、著者自身の正誤表のページあり。
そこに反映されているものは # と書きます。
- p21 (2.1.3) の最後の式 と次の行の行末の式(a^n)^{-1}= a^{-n}は、同一であるので、示すべきこととして挙げるのはおかしい。おそらく示したいことは (a^n)^{-1}=(a^{-1})^n であろう。
- # 例2.1.5. A^\times = A \setminus \{0\} と定義しているわけではない。page 26 の中程の定義と、例2.2.4 に注意。例えば、\mathbb{Z}\setminus \{0\} は \mathbb{Z}^\times ではないのだが、ここで挙げられている３つの例からは、そのように誤解する可能性がある。
- # 例2.2.4. M_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R}) は「n\geqq 2 のときに」非可換。(GL_1(\mathbb{R}) は可換。)
- # 命題2.3.2 の証明の前半。y=x^{-1} \in H は x^{-1}=y \in H と書きたい。
- 命題2.3.2 の証明の後半。「条件(2) より、群演算が H \times H \rightarrow H という写像を定める」こと、に言及しておきたい。
- p35, ２行目。本文のママで正しいが、何が省略されているかがより明示的になるように詳しく書くと、(\overbrace{1_{G_1},\ldots,1_{G_{j-1}}}^{j-1}, g_j,\overbrace{1_{G_{j+1}},\ldots,1_{G_t}}^{t-j}).
- # 命題2.4.18. d の登場するところ「条件 d>0」は（位数と言った時点で）自動的に成り立っているので、書く必要はない。（改めて書かれてしまうと、何か含意があるのではないかと考えてしまう。）
- 命題2.4.18. 証明の１行目のH の定義。
n はこの命題の主張の中で固定されているので、H を定義するときの動く変数としては別の文字を使うべき。たとえば、H = \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m =1 \} とする。
- 命題2.4.18. (1) \Rightarrow (2) の別証明。H = \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m =1 \} とすると、H は \mathbb{Z} の部分群である。命題 2.4.17 より、整数 f \geqq 0 があり、H=f\mathbb{Z} となる。d \in H なので、「d は f の倍数である」。d>0 なので f\neq 0 すなわち f>0 である。位数の定義(d の最小性)より、「d \leqq f である」。以上の２つの「」をあわせて、f=d である。さて、仮定(1) より n \in H なので、n は f の倍数である。これは(2) を意味する。証明終わり。
コメント：ここで与えた証明は本質的にこの本の証明と同じだが、「n=0 の場合のみなので」の部分で d についての仮定を使っていることを明示してみた。
- 例2.5.10の交代群。Ker(\sigma) は Ker(sgn).
- 命題2.5.12の証明。原文で問題ないが、代案。H=\{ x \in G_1 \mid \phi_1(x) = \phi_2(x) \} とする。H は G の部分群であり、S を含む。従って、命題2.3.13(2)より, \langle S \rangle =G を含む。証明終わり。
- 命題2.5.13の(1)\Rightarrow(2)の証明。証明の１行目の等号 1_{G_2} = \phi(1_{G_1}) のところでも、命題2.5.3(1) の1_{G_1} \in \mbox{Ker}(\phi) は使われているので、そのあとのタイミングで引用されると違和感あり。代案として、原文の順番を変更して、『命題2.5.3(1) より1_{G_1} \in \mbox{Ker}(\phi) である。逆に g \in \mbox{Ker}(\phi) ならば、\phi(g) = 1_{G_2} = \phi(1_{G_1}) なので、\phi が単射であれば、g=1_{G_1} である。』とすれば、あまり字数は変わらない。
- # 例2.10.6. ２行目. \rightarrow は \mapsto.
- p69から70. 問題2.3.5 と 2.3.6 は対比しているので、途中で改ページ（特に奇数から偶数ページへ）すると、面白さが半減する。p74に余白が数行あるので、適当にアレンジして、同じページになるようにしてほしい。
- p71. 問題2.5.2. 第２文の内容は、問題文中ではなく、巻末の「演習問題の略解」のページで述べられる内容と思われる。p143の問題2.5.1 のヒント、と併置すると効果的。
- # p71. 問題 2.5.3(2) 条件を少し緩めて、\phi は単射でよい。
- p71, 問題2.5.6 と p130, 問題4.1.7 は同一。(1)(2)(3)とも。ヒントもほとんど同じ。
- p73, 演習問題2.8.1(4). どこに書くべきかはともかく、例4.2.5(p99)で同一の問題を（別のアプローチで）扱っていることには触れておきたい。
- p73, 演習問題2.9.4 ならびに 2.9.5。2.9節（直積）ではなく、2.8節（正規部分群）の内容なので、2.8.@という番号づけがなされるべきもの。
- # p133. 解答 4.2.6. \cdots の両側に２項演算子を配置して、
\times \cdots \times のように書くとよい。２カ所。
- p144, 問題2.5.7 の答えの１行目。写像 \bar{k} \mapsto \phi_{\bar{k}} は、群としての同型 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \cong \mbox{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) を誘導している、と言い切ってしまいたい。その上でさらに、群 (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times の構造をヒント(c) の意味で「決定」する作業に入っている。(c.f., 系2.4.14.)
- p144, 問題2.5.7(5). 結果の解釈：\S2.5 までの学習の範囲を超えるが、問題2.9.1(p73)で、群の同型 \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} を学習する。また、問題2.9.2(p73)により、群としての同型
\mbox{Aut}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \cong \mbox{Aut}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \times \mbox{Aut}(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) が導かれる。そして、問題2.5.7(1) \mbox{Aut}(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} や類似の議論によって \mbox{Aut}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} である。
- # p145. 解答 2.9.5. すべての部分群が正規部分群。たとえば、\langle i \rangle は指数２。
「代数学２」
- p16, 命題 1.3.14 の証明の３行目。k \rightarrow A という写像を c_{i_1,\cdots, i_n}に適用する必要あり。
- # p25, 定義 1.4.2 の直後。極大イデアルの定義は、後に p33 で登場する。
- # p58, 命題 1.11.12 の証明。帰納法はおそらく n に関する帰納法。おそらく m \ge n を仮定している。（そう仮定しなくても帰納法は進行できるが、その場合、証明の４行目の「元である」のところで、「元であり、特に m\ge 1 である」と書いておきたい。）また、帰納法の初期ステップ n=1 （あるいは、n=0）のときの記述が implicit である。
- # p63, l2. 「以下、この節の終わりまで、A を一意分解環とする」とあるが、例1.11.41 ではA=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] が一意分解環でないことを証明しているので、つごうが悪い。一番いいのは、p66, line 7 から新しい節にしてしまうことであるが、これは目次や演習問題の番号なども変更する必要があり、改訂版では対応しきれないであろう。実際は、「p66, line 6 までは、A を一意分解環とする」とするのが現実的な対応。
- # p63, 補題1.11.31の冒頭。f(x) \neq 0 としておいた方がよい。
- # p77, 問題1.3.1(2). +\cdots+ のように前後に２項演算子を配置したい。
- # p79, 問題1.6.2. \mathfrak{m}_2 は極大イデアルではないので、\mathfrak{m} という記号に違和感あり。
- # p81, 問題1.9.1. \rightarrow は \mapsto. ３カ所。
- # p147, 例2.13.12 のweb にあるコメント『命題2.10.7 の無限直和の場合を使う（演習問題2.10.6).
ほとんど命題2.10.7と同じようにできるのだが、これを使わないとR[x,y]\otimes_RC \cong C[x,y] が正確にはいえない』と書かれているが、そうだろうか？テンソル積の普遍性の誘導するR線形写像
R[x,y]\otimes_RC \ni f(x,y) \otimes c \mapsto c f(x,y) \in C[x,y] が全単射であることを言いたいだろうが、
命題2.10.7 でA=R, M=R[x,y], N_1\oplus N_2=C とすると
R[x,y] \otimes_RC \cong R[x,y] \otimes_RR \oplus R[x,y] \otimes_RR\sqrt{-1}
= C[x,y] となることがわかる。
- # p264. 補題4.17.3 の証明。ここでは \exp という超越関数が使われているが、それを避ける別証明がある。別証明：「任意の正の実数の平方根が存在する」ということを使えば、ここで証明したい「任意の複素数の平方根が存在する」ことが証明できる。実際、a=u+v\sqrt{-1} と(u,vは実数)としたとき、x=\sqrt{(u+\sqrt{u^2+v^2})/2}, y=v/(2x) と定めれば、(x+y\sqrt{-1})^2=a となる。証明終わり。コメント：なお、ここで用いた「任意の正の実数の平方根が存在する」は、関数x^2 の連続性と中間値の定理を使って証明されるので、この補題が（補題4.17.2 の上の行にあるように）「解析的な考察」であることには違いはない。
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