服部哲弥「難問克服ルベーグ積分」東京図書
誤植
- p21(2) の３行目。[0.2] は [0,2]。ピリオドはカンマ。
- p48, line -5 のdisplayed formula の真ん中の項、閉じ括弧が一つ足りない。
- p68, line -2. 後半にある２つの$\mathcal{I}_A$ の字体が小さい。
- p82, 問題39(2) の式(3.1) $d(\omega'.\omega)$ は $d(\omega', \omega)$. ピリオドはカンマ。
- p102, 下から３行目と２行目の三箇所の P は$\mu$ かな？
- p142, 問題67, １行目。「$I_1 \neq I_2$ の時は」 $I_1 \cap I_2 = \emptyset$.
- p142, 問題67, １行目。「を」満たす
- p196, 問題92(1) line 1. $\iota_K: \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ の２つ目の $\mathbb{R}$ が抜けている。
- p197, line -8. 最初の等号の直前、絶対値記号が抜けている。
- p197, line -2. 第１項と第３項が同じだが、どちらかの被積分関数 $|f-\iota_K \circ f|$ は $|f_n-\iota_K \circ f_n|$
- p206, 問題97, ２行目。$\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f_n(x) dx$ が２つある？
- p234, 解説２行目。それらとを。
その他(内容的なコメント、改善の提案、など)
- p21(2)の後半。本の証明で差し支えないが、その解答は「コンパクト集合からHausdorff 空間への全単射連続写像は同相写像である」という、一般位相空間論で頻用の定理の証明そのものであることを、「解説」で触れておくと、その定理を既習でも未習でも情報になって親切だろうと感じた。
- p28, 問題14の４行目。コア $\mathcal{C}$ の定義には $\pi \in \Pi$ は無関係なので、「$\pi \in \Pi$ に対して」の場所を$\mathcal{C}$ の定義よりも後ろに置いた方が読みやすいと思う。
- p48, 解答の下から４行目、中間値の定理を使う直前。かなり丁寧に証明しているので、その流れで行くと、$\displaystyle \sup_{r \in \mathbb{R}_+} f(r) = \nu_d(A)$ であることもコメントし、それを明示的に使うとバランスが良いように思う。
- 問題79には問題27への言及がある。問題27の解説でも問題79に言及してもいいかな。
- p100, 問題47。まず、他の問題と同様、(1)(2)(3) の３つに分けると問題も解答も読みやすいと思う。解答にあまり明示的に書かれていないようだが、$\mathcal{I}_2 \subset \mathcal{I}_1$ である。したがって、(2)の$i=1$の場合から(2)の$i=2$の場合を導ける。(3)の$i=2$の場合から(3)の$i=1$ の場合を導ける。解答では「同様に」「変わらない」という用語でそれらを内容的には盛り込んでいる。 以下でそれぞれを少し詳しく述べる。
- p100, 問題47(2).
$m: \mathcal{I}_2 \to \mathbb{R}$ は $m: \mathcal{I}_1 \to \mathbb{R}$ の定義域を$\mathcal{I}_2$ へ制限したものであるから、$i=1$ の場合の(2)から $i=2$ の場合の (2) が導かれる。
- p100, 問題47(3).
$\mathcal{I}_2$ に対して証明すれば、$\mathcal{I}_1$ は自動的に成立する。すなわち、$\sigma[\mathcal{I}_2] \subset \sigma[\mathcal{I}_1] \subset 2^{\mathbb{N}}$ と、$\sigma[\mathcal{I}_2]=2^{\mathbb{N}}$から $\sigma[\mathcal{I}_1]=2^{\mathbb{N}}$ が従う。
- p168, 問題79(1)。問題70の公式を使う別解もあるのではないだろうか？
- p191(3) の前半。丁寧に $\epsilon$ を使って議論しているが、５行目の $d(f,g) \leq d(f,f_n) + d(f_n,g)$ で、極限 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}$ を考えれば、仮定より右辺は $0+0$ となるので $d(f,g)=0$ が得られる。
- p192, 問題90(2)。この問題文の後半、$f$ を $\epsilon$ に依存しないように作ることは、内容を忖度すれば当然だが、日本語としてそのように一意に読めるか？つまり、「任意の...を満たす」可測関数... を、任意の... に対して「lim ... を満たす可測関数が存在する」と読まれないか、と言うこと。
- p192, line -2. $a_{1+n}$ と $a_{n+1}$ が両方出てくるが、同じ表記に統一した方が見やすい。
- p197(2)の前半、１行目から６行目の別解。(1) を使うと、いいのでは？
仮定の２つ目は$\iota_K\circ f_n = f_n$ を意味する。そして、仮定の１つ目「$f_n$ が $f$ に測度収束」と(1)の結論「$\iota_K \circ f_n$ が $\iota\circ f$ に測度収束」を合わせてみると、同じ数列 $f_n$ が $f$ にも $\iota_K \circ f$ にも測度収束する、という状況になっている。極限の一意性より $\iota_K \circ f =f $ が得られる。
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