ochiai/quiz_topology_comment の履歴(No.6)

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- 1 (2016-12-06 (火) 11:12:10)
- 2 (2016-12-06 (火) 11:43:43)
- 3 (2017-01-30 (月) 01:09:30)
- 4 (2017-02-09 (木) 02:15:23)
- 5 (2017-04-11 (火) 08:02:31)
- 6 (2017-10-16 (月) 05:46:36)
- 7 (2017-10-23 (月) 03:18:11)
- 8 (2017-11-06 (月) 03:35:47)
- 9 (2017-11-16 (木) 01:34:21)
- 10 (2017-12-04 (月) 01:03:55)

10/16-3. $\mathfrak{O} \subset \mathfrak{P}(S)$ が正しい。
10/16-4. 例えば反例は、密着位相。この時 $\mathfrak{O}$ の濃度は2.
10/16-5. 例えば反例は、離散位相。
10/16-6. $M\setminus \{x\} = M$ より。
10/16-7. $x \in M \subset \overline{M}$ より。
10/16-8. 孤立点の定義より。
10/16-9. 証明。 $x \in S$ が $S$ の集積点でないから、 $x \notin \overline{S \setminus \{ x\}}= \{ x\}^{ca}=\{x\}^{ic}$ . つまり、 $x \in \{ x \}^i$ . つまり $\{ x \} \subset \{x\}^I$ . 逆向きの包含関係 $\{ x\}^I \subset \{ x \}$ が (2.1) より成立するので、 $\{x\}^I = \{ x \}$ . つまり、 $\{x \}$ は開集合。勝手な集合は１点集合の和集合にかけるので、勝手な集合も開集合。したがって離散位相空間。
2/6-2. $\mathbb{R}^2$ の $l^1$ と $l^2$ のノルム。
2/6-3. $\tan: (-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \mathbb{R}$ は同相。定義域は有界、値域は有界でない。
2/6-4. 例えば Hausdorff でない空間は距離空間にはなれない。
1/30-1. $[0,1] \cup [3,5]$ .
1/30-2. $\{ 1/n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}$ .
1/30-3. $\cup_{n=1}^\infty [n,n+1] = [1, \infty)$ .
1/30-4. $[0,1]$ の元で、小数で表示した時にどの桁も2または3, という条件を満たすものの全体は、非可算集合であり、コンパクトであり、内点を持たない。
1/30-6. 補有限位相。
1/30-7. T $_1$ を満たさないが T $_3$ を満たす例がある。例えば、 $S=\{1,2,3\}$ , $\mathfrak{O} = \{ \emptyset, S, \{1\}, \{2,3\} \}$

1/23-1. 反例 $S=[0,1], S'=\mathbb{R}, f(x)=x$ .
1/23-2. 反例 $S=\mathbb{R}, S'=[-2,1], f(x) = \sin x$ .
1/23-3, 4. 反例. 集合として $S=S'$ , $S'$ に密着位相、 $S$ に離散位相を入れる。
1/23-5. 有限集合は常にコンパクト。
12/5-1. 反例 $A=(0,2), B=(2,5)$ 。
12/5-2. p197 定理２の証明の４行目。
12/5-3. 補集合は $C_x$ で閉集合。p198 定理4.
11/28-2. 反例は 11/28-4.
11/28-5. ナンセンス問題。 $M=\mathbb{R}, N=(0,1) \cup (2,3)$ が反例。
11/14-1. p183, 定理22の特別な場合。
11/14-2. 反例：p166 の中程の注意。p153 例１(b).
11/14-3. $(A_1 \times A_2)^c = (A_1^c \times S_2) \cup (S_1 \times A_2^c)$ .
11/14-4. $S$ 密着位相。
11/7-1. 密着位相から離散位相。
11/7-5. $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x)=x$ .
11/7-6. $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x)=x$ .
10/31-1. $[0,2)$ は $1$ の近傍。
10/31-2. 離散位相空間の任意の集合は閉集合。
10/31-4. $(0,1)$ を表せない。
10/24-6. 反例 $\mathbb{R}$ .
10/17-1. $\mathfrak{A} = \{ O^c \mid O \in \mathfrak{O} \}$ である。あるいは、 $\mathfrak{A} \cap \mathfrak{O} \ni \emptyset, S$ .
10/17-2から5. $N= (-\infty, 0) \cup ([0,10] \cap (\mbox{有理数})) \cup (10,\infty)$ である。結局 $\sqrt{2}$ のあたりしか関係ないので、 $N=\mathbb{Q}$ , $M=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ を考えることと同じ。
10/11-3. 密着位相。
10/11-4. 離散位相。

「集合論だけど」

1 は 2から従う。
2 は対角線論法。p83 (3.15).
3 は 2 から従う。
4 は p84 (3.18).
5 は 4 から従う。
6 は p80 定理9 と (3.18).
7 は p78 問題6.
8 は p74 定理7 より。