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野村隆昭：微分積分学講義（共立出版）
- 講義準備をした上での注意点。
- 著者自身によるページ
- page 2, line 9-10. 空集合は任意の集合の部分集合となることが「約束」されているが、これは、証明できる命題である。なお、数学の本における「約束」とはどんなことかの定義は書かれていない。
- page 8. 単射であれば（全射でなくても）逆写像を考えていることに注意。
- page 13, 例題2.6. 「 の場合に帰着する」ということをまず宣言する。すなわち、b_n := a_n - \alpha, t_n = \displaystyle\frac{b_1+\cdots+b_n}{n} と定義する.
ここで４つの主張を番号をつけて
(1) \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\alpha, (2) \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = 0,
(3) \displaystyle\lim_{n\to\infty} t_n =0, (4) \displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n = \alpha と定める。このとき、t_n = s_n-\alpha なので、(3)と(4) は同値、(1)と(2) は定義より同値なので、(2)\Rightarrow(3) が示せれば、目的である (1)\Rightarrow(4) が示せることになる。ここから教科書の「解」を\alpha=0 として読めばよい。
- page 14, 問題2.7. 同じ技術を使う。b_n = a_n- \alpha, T_n = \displaystyle \frac{nb_1+(n-1)b_2+\cdots+2b_{n-1}+b_n}{n^2} と置くと、S_n = T_n +\displaystyle\frac{n+(n-1)+\cdots+2+1}{n^2}\alpha となるので、\alpha=0 の場合に示せばよい。
ここで、\displaystyle\left\vert S_n \right\vert \le \frac{n\left\vert a_1 \right\vert +(n-1) \left\vert a_2 \right\vert+\cdots+2 \left\vert a_{n-1} \right\vert + \left\vert a_n \right\vert}{n^2}
\le \frac{n\left\vert a_1 \right\vert +n \left\vert a_2 \right\vert+\cdots+n \left\vert a_{n-1} \right\vert +n \left\vert a_n \right\vert}{n^2}=\frac{\left\vert a_1 \right\vert + \left\vert a_2 \right\vert+\cdots+ \left\vert a_{n-1} \right\vert + \left\vert a_n \right\vert}{n} となる。
\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=0 ならば、\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left\vert a_n \right\vert =0 であり、例題2.6 より、\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left\vert a_1 \right\vert + \left\vert a_2 \right\vert+\cdots+ \left\vert a_{n-1} \right\vert + \left\vert a_n \right\vert}{n}=0 なので、「はさみうちの原理」により、\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n =0 である。
- page 17, 問題2.19. 直前の注意「命題2.14 を繰り返し使って」には反するが、証明の途中で使われる式 \displaystyle \lim_{n\to\infty} 3^{1/n} =3^0 の成立根拠を、命題2.14 の証明のレベルで与えることは、この問題では期待されていない。この事実の証明については例えば、後に出てくる問題2.33の必要条件（易しい方）も参照。
- page 25, 定理3.4 の証明の後半の段落。背理法が使われているが、次のようにも議論できる。
まず、「\forall \alpha \in A, \exists c \in A s.t. \alpha < c」を示す。証明： \alpha は S の上界ではないので、\exists s_1 \in S s.t. \alpha < s_1. このとき、c := \frac12(\alpha+s_1) を考えると、\alpha < c < s_1 である。c<s_1 より c は S の上界ではないので、c \in A である。証明終わり。この「...」より、Aに最大数がない。よって Dedekind の公理から、Bに最小数がある。すなわち、Sの上界に最小のものがある。\qed
- page 28, line 3 から。「まるいち」の式より 0 < \alpha - a_{n+1} < \frac12 (\alpha - a_n) となる。
従って、0< \alpha-a_n < \frac1{2^{n-1}} (\alpha - a_1) となる。はなさみうちの原理(命題2.16(2)) より、数列 \{\alpha-a_n\} は0に収束する。すなわち、\{ a_n \} は \alpha に収束する。証明終わり。
註：この証明だと「定理3.13 を使っていない」ので、p27 の命題3.14 の３行上の「定理3.13 の応用として」という説明文に改変が必要。
- page 35, 定理 4.8 の証明。S の定義で x,y \in I が必要。ところで、２変数の関数とその連続性が必要となるような議論がされているが、証明の７行を省略して、いきなり、
「I の４つの元 x_1 > y_1, x_2>y_2 を固定する。 0 \leqq t \leqq 1 に対して、
G(t) = f((1-t)x_1+t x_2) - f((1-t) y_1+t y_2) と定義する。」と始めて、証明できる。議論の流れは教科書と同じ。以下、「連続関数の合成並びに差も連続関数なのでG:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} は連続関数である。また、 ((1-t)x_1+t x_2)-((1-t) y_1+t y_2)=(1-t)(x_1-y_1)+t(x_2-y_2)>0 なので、G(t)\neq0 である。したがって、Roll の定理の対偶によって、G(0)=f(x_1)-f(y_1) と G(1)=f(x_2)-f(y_2) は同符号である。正であればf は狭義単調増加、負であれば狭義単調減少である。」
- p101, line -2. 少し前の line -7 のパラメータ表示 x=\displaystyle \frac12\left( s - \frac 1s \right) で s= e^t と置くと x=\sinh t となる、という説明を加えたい。
- p112, 例5.96. この例で、「被積分関数は、、、、を得る」というような議論、、、のように括弧をつけたい。（してはいけないことが何なのかが読み取りづらいと思われるため。）
- p154, 例題6.79. 答えの解釈。1/n^3の係数が複雑な形をしているが、正体は、x_n = \displaystyle \left(n+\frac12\right) \pi - \frac1\pi \left(n+\frac12\right)^{-1} - \frac2{3\pi^3} \left(n+\frac12\right)^{-3} + o((n+\frac12)^{-3}) となっているものを n 冪で再展開したため、異なった項からの寄与が足されていることによる。
- p186, 例題7.24(1) の解。２行目で J(x) = \displaystyle 4x^2 \int_0^{\frac12} \sqrt{1-t^2}dt と特定した後で一度、I= \displaystyle \int_0^1 4x^2 dx \int_0^{\frac12} \sqrt{1-t^2}dt と書いておきたい。このあとは、x の積分とt の積分は相互に関係なく、それぞれ１変数の積分の問題である。（そして、教科書にはその計算が書いてある。）
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