ochiai/quiz_topology の履歴(No.7)

原付免許筆記試験方式で学ぶ位相空間論

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真偽を判定せよ(2016.Nov.14)。

$f:S \rightarrow S'$ が同相写像、$f: S' \rightarrow S''$ が連続写像であれば、$f' \circ f$ は連続である。答え
同じ集合の上の二つの位相$ \mathfrak{O}_1, \mathfrak{O}_2$ に対して、$\mathfrak{O}_1$ が $\mathfrak{O}_2$ よりも強くないならば、$\mathfrak{O}_2$ は $\mathfrak{O}_1$ よりも強い。答え
$A_1 \subset S_1$, $A_2 \subset S_2$ がそれぞれ閉集合の時、$A_1 \times A_2$ は直積集合 $S_1 \times S_2$ の直積位相に関して閉集合である。答え
$M=\{(x,x) \mid x \in S \} = \{ (x,y) \in S \times S \mid x=y \}$ は $S\times S$ の閉集合である。答え
$\mathfrak{B}_1$ を $(S, \mathfrak{O}_1)$ の基底とした時、$\mathfrak{B}_1 \times \mathfrak{O}_2$ は直積位相の基底となる。答え

真偽を判定せよ(2016.Nov.7)。

全単射な開写像は連続である。答え
全単射な開写像の逆写像は連続である。答え
全単射な連続写像の逆写像は開写像である。答え
全単射な写像$f$ による $M' \subset S'$の逆像は逆写像$f^{-1}$による$M'$の像に一致する。答え
連続な閉写像は開写像である。答え
連続な開写像は閉写像である。答え
基底 $\mathfrak{B}$ に対して、 $M$ が $x$ の近傍である必要十分条件は、ある$W \in \mathfrak{B}$ such that $x \in W \subset M$ である。答え
$\overline{M}=S$ の時、$M$ はちょうみつであるという。答え

真偽を判定せよ(2016.Oct.31)。

近傍は開集合である。答え
離散位相空間の稠密な部分集合は全体集合である。答え
$x$ が $V$ の内点であることと$V$ が$x$ の近傍であることは同値。答え
$\mathfrak{M} =\{ (a,\infty) \mid a \in \mathbb{R} \}$ は $\mathbb{R}$ の通常の位相の準基底である。答え

真偽を判定せよ(2016.Oct.24)。

位相 $\mathcal{O}$ から$\mathcal{A}$ は一意的に決まる。答え
開核作用子 $M \mapsto M^\circ$ から位相 $\mathcal{O}$は一意的に決まる。答え
位相から準基底は一意に決まる。答え
位相から基底は一意に決まる。答え
準基底ならば基底。答え
非可算集合は第２可算公理を満たさない。答え

真偽を判定せよ(2016.Oct.17)。

$\mathcal{A} = \mathcal{O}^c$ である。答え
$\mathbb{R}$ の通常の位相に関して、$M=[0,10] \cap (無理数)$, $N=M^c$ と定義する。 $\sqrt{2}$ は $M$ の集積点である。答え
$\sqrt{2}$ は $N$ の孤立点である。答え
$\sqrt{2}$ は $N$ の触点である。答え
$\sqrt{2}$ は $N$ の内点である。答え

真偽を判定せよ(2016.Oct.11)。

位相 $\mathcal{O}$ は全体集合 $S$ の部分集合である。答え
どんな位相を考えても空集合は開集合である。答え
$\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \lt 2 \}$ は開集合である。答え
$\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \leq 2 \}$ は開集合にはならない。答え
何も見ないで開集合の公理 Oi, Oii, Oiii を書ける。
何も見ないで開核作用素の公理 Ii, Iii, Iiii, Iiv を書ける。
何も見ないで開核の特徴付け (2.1), (2.2), (2.3) が書ける。

真偽を判定せよ。

$[1,5]$ は閉集合である。答え
$[1,5]$ は開集合である。答え
$[1,5)$ は閉集合である。答え
$[1,5)$ は開集合である。答え
$[1,\infty)$ は閉集合である。答え
$[1,\infty)$ は開集合である。答え
$[1,5]$ は有界である。答え
$(1,5)$ は有界である。答え
$[1,5)$ は有界である。答え
$[1,\infty)$ は有界である。答え
$[1,5]$ 上の連続関数は有界である。答え
$[1,5)$ 上の連続関数は有界である。答え
$[1,5]$ 上の連続関数の像は閉集合である。答え
$[1,5)$ 上の連続関数の像は決して閉集合にならない。答え
$[1,5]$ は連結である。答え
$[1,5)$ は連結である。答え
$(1,5)$ は連結である。答え
部分位相はハサミを、商位相は糊を表す。答え
２つの有界閉区間の和集合は有界閉区間である。答え
２つの有界閉集合の和集合は有界閉集合である。答え
無限個の有界閉集合の和集合は有界閉集合である。答え
全体集合は近傍である。答え
全体集合は開集合である。答え
全体集合は閉集合である。答え

どんな位相でも、１点と２点は同相にならない。答え
２点からなる集合に密着位相を入れた時と、１点からなる集合に密着位相を入れた時に、開集合の個数は同じである。答え

集合論だけど

可算集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。答え
２個からなる集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。答え
２個からなる集合の無限個の直積は必ず非可算集合である。答え
可算集合の２個の直積は可算集合である。答え
可算集合の有限個の直積は可算集合である。答え
可算集合の可算個の和集合は可算集合である。答え
代数的な数の全体は可算集合である。答え
複素数の全体は非可算集合である。答え