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雪江明彦「代数学1」日本評論社
- 講義をした上での注意点
- これだと定義そのものっぽい。いいたいことは (a^n)^{-1}=(a^{-1})^n か？
- 例2.1.5. A^\times = A \setminus \{0\} と定義しているわけではない。page 26 の中程の定義と、例2.2.4 に注意。例えば、\mathbb{Z}\setminus \{0\} は \mathbb{Z}^\times ではないのだが、ここで挙げられている３つの例からは、そのように類推する可能性がある。
- 例2.2.4. M_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R}) は「n\geqq 2 のときに」非可換。(GL_1(\mathbb{R}) は可換。)
- 命題2.3.2 の証明の前半。y=x^{-1} \in H は x^{-1}=y \in H と書きたい。
証明の後半。条件(2) より、群演算が H \times H \rightarrow H という写像を定めること、に言及しておきたい。
- 命題2.4.18. d の登場するところで条件 d>0 は（位数と言った時点で）自動的に成り立っているので、書く必要はない。（改めて書かれると、真意を汲むのが難しい。）
(1) \Rightarrow (2) の証明。H = \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m =1 \} とすると、H は \mathbb{Z} の部分群である。命題 2.4.17 より、整数 f \geqq 0 があり、H=f\mathbb{Z} となる。d \in H なので、「d は f の倍数である」。d>0 なので f\neq 0 すなわち f>0 である。位数の定義(d の最小性)より、「d \leqq f である」。以上の２つの「」をあわせて、f=d である。さて、仮定(1) より n \in H なので、n は f の倍数である。これは(2) を意味する。証明終わり。
コメント：n はこの命題中で固定されているので、H を定義するときの変数としては別の文字を使うべき。
また、ここで与えた証明は本質的にこの本の証明と同じだが、「n=0 の場合のみなので」の部分で d についての仮定を使っていることを明示してみた。
- 例2.10.6. ２行目. \rightarrow は \mapsto.
- p71. 問題2.5.2. 第２文の内容は、問題文中ではなく、巻末の解答とヒントのページで述べられる内容と思われる。
- p71. 問題 2.5.3(2) 条件を少し緩めて、\phi は単射でよい。
- p133. 解答 4.2.6. \cdots の両側に２項演算子を配置して、
\times \cdots \times のように書くとよい。２カ所。
- p145. 解答 2.9.5. すべての部分群が正規部分群。たとえば、\langle i \rangle は指数２。
代数学２
- p16, 命題 1.3.14 の証明の３行目。k \rightarrow A という写像を c_{i_1,\cdots, i_n}に適用する必要あり。
- p25, 定義 1.4.2 の直後。極大イデアルの定義は、後に p33 で登場する。
- p58, 命題 1.11.12 の証明。帰納法はおそらく n に関する帰納法。おそらく m \ge n を仮定している。（そう仮定しなくても帰納法は進行できるが、その場合、証明の４行目の「元である」のところで、「元であり、特に m\ge 1 である」と書いておきたい。）また、帰納法の初期ステップ n=1 （あるいは、n=0）のときの記述が implicit である。
- p63, l2. 「以下、この節の終わりまで、A を一意分解環とする」とあるが、例1.11.41 ではA=mathbb{Z}[\sqrt{-5}] が一意分解環でないことを証明しているので、つごうが悪い。一番いいのは、p66, line 7 から新しい節にしてしまうことであるが、これは目次や演習問題の番号なども変更する必要があり、改訂版では対応しきれないであろう。実際は、「p66, line 6 までは、A を一意分解環とする」とするのが現実的な対応。
- p77, 問題1.3.1(2). +\cdots+ のように前後に２項演算子を配置したい。
- p79, 問題1.6.2. \mathfrak{m}_2 は極大イデアルではないので、\mathfrak{m} という記号に違和感あり。
- p81, 問題1.9.1. \rightarrow は \mapsto. ３カ所。
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