tsujii/lectures/2010/problems のバックアップ(No.7) - PukiWiki

tsujii/lectures/2010/Biseki(Math)

微分積分学(2010年度,数学科向け,後期)の教科書の問題についてのページ

質問等についてはこちらで受け付けます.(試験運用中)

章番号やページ数は後期の教科書「続・解析入門」のものとします.

第1章 ベクトル
この章は講義では取り上げられていませんが,読んでよく理解しておいてください.内容的には難しくありません.第5節までの内容は高校で習っているはずです.第6節の空間の中の平面の方程式については最近の高校の教科書には載っていないようですが,基本的には高校レベルです.第7節のベクトル積については数学よりも力学や電磁気学などの物理学でよく使われる概念です.第6節と第7節の問題を中心にやってみてください.特にやっておいて欲しい問題とそのコメントを書いておきます.
第6節
上で書いたように空間における平面の方程式やその取り扱いについては今の高校の教程で省かれている部分なので,これまであまりやったことがない人が多いと思います.第6節をよく読んで節末の問題をやってみてください. 7,8,9は基本です. 10は4次元なのでギョッとするかもしれませんが計算方法は同じです. 16~20は仕上げとしてよい問題です.
第7節
ベクトル積は昔(?)は物理の古典力学や電磁気学でかなりやらされたので数学であまり取り上げられなくても基本的知識になっていましたが最近はどうなのでしょうか?少なくとも定義と基本性質は押さえておきたいところです.とりあえず1~9の計算問題を一通りやりましょう.
第2章 ベクトルの微分
この章は1次元からn次元への関数(写像)の微分について書かれています.一つのパラメータ(例えば時間)に依存して,ベクトルや行列が変化してゆく状態を考えることはよくあります.例えば古典力学で物体の運動を考えるのはとの典型例です.(幾何学で曲線を考えるのも同様です.)
第1節
 ここは微分についての基本的な計算方法が書かれています.節末の問題11,13,14は基本的で大事な問題なので必ずやってみること.16~19も落ち着いて考えれば難しくない.24は単なる計算でできますが,この曲線がどのような曲線かを考えると直観的にも明らかなはずです.25はこの節の議論の総まとめとして良い問題なので,最後に挑戦してください.
第2節
ここは曲線の長さについての「おまけ」です.曲線の長さは公式通りに計算すればいいのですが,その計算がかなり難しくなることがあります.暇なときにやってみましょう.
第3章 多変数の関数
この章は多変数の関数の微分(偏微分,全微分)への入門です.まず定義を良く理解して計算ができるようにしましょう.
第1節
ここは多変数の関数をグラフや等高線を描くことでその概略をとらえることを試みています.講義中にも強調しましたが,多変数の関数の微積分についてはある程度幾何学的な直観がないと単なる計算になって面白みがなくなります.節末の練習問題も漠然としていてやりにくい(orやる気がわきにくい)と思いますが少なくともいくつか丁寧にやってみて多変数の関数のイメージをつかんでください.
第2節
この節は偏微分についてです.偏微分の概念や計算方法は覚えてしまえば簡単なのでこの機会に正確にできるようにしておきましょう.節末の問題はいずれも計算問題で落ち着いてやれば難しくはないはずです.とりあえずこれぐらいできれば十分です.
第3節
この節は全微分についてですが,概念を理解することが大事です.偏微分と全微分の関係についてよく理解しておいてください.(全微分はあらゆる方向について関数が1次関数でよく近似できるということで,偏微分よりも強い概念です.ただし,偏導関数の連続性を仮定すると全微分可能性が従います.)節末の問題の2~4は意味が分かりにくいかもしれませんが,線形の関数の場合は定義から明らかに全微分可能なので,その場合の偏微分がどのようになるかを自分で考えてみるということです.(ですから講義をきいていればほぼ自明に思えるはずです.)5も講義中に述べたことですが,自分の言葉で説明できるようにしましょう.
第4節
この節は2階以上反復して偏微分するということについて述べています.大事なのは定理3で,2次以上の偏導関数を考えるときに,微分の順序は基本的に関わらず同じ関数になります.その点以外は順序よく計算するというだけです.節末の問題の1~10はいくつか選んでやってみましょう.また,11~18はよい計算問題なので正確に計算する練習をしてください.19~21は2年次以降でならう数学から題材をとっていますが,計算自体は難しくないはずなのでやってみましょう.(ラプラス方程式は解析,幾何で非常に重要な方程式です.)
第4章 合成微分律と勾配ベクトル
この章は多変数の関数の微分(偏微分,全微分)についてより進んだ内容について述べています.定理の内容や計算を単なる「式」で終わらせずに,常に幾何学的に解釈するようにしましょう.
第1節
ここは多変数の関数の合成微分律について,最も単純な場合を述べています.後でより次元の高い場合についての一般化が出てきますが,まずは単純な場合によく理解しておきましょう.練習問題の1と2はとりあえず定理を使ってみるということです.3は条件を成分を使って表せば易しいはず.4(b)はまず仮定からf(0)=0であることに注意して(a)で示したことを用いる.5と6は同次式についてのよくある問題です.ヒントがついています.7〜9は偏微分の復習.
第2節
この節は曲面の接平面についてです.79ページの曲面の定義はちょっと違和感があると思います.これは「陰関数定理」と呼ばれる定理を習うと意味がよくわかります.(この点については授業で解説するつもりです.)いったんその部分を認めてしまえば,計算等は難しくないはずですのでそのようにしてください.練習問題の1と2は計算問題です.とりあえずいくつかやってみましょう.問題3は下の注意を読んでからやってください.(交わりの曲線を求めるのは問題を難しくします.)4では曲面はあまり関係ないのでちょっと変な問題ですが,難しくはないはずです.6番以降はところどころちょっと難しい問題が入っています.一つの問題は与えられた曲面が z=f(x,y) という形に書かれていないことです.そのような場合には x, y, z の役割を入れ替えたり,式変形したりして z=f(x,y)という形の場合に帰着します.(より一般的な場合は後で陰関数定理と呼ばれる定理で取り扱います.)12番が自分でできればこの節の議論については卒業です.
第3節
この節は勾配ベクトルについて説明しています.講義では第3章の部分で既に取り扱いました.練習問題も多くや易しいので計算練習のつもりでやってください.ただし,10番は後でラグランジュの未定乗数法と呼ばれる方法を問題にしています.後で定理として出てくる内容ですが自分なりに考えてみると後で理解が容易になります.(もちろん今の時点でできる必要はありません.)
第4節
この節は偏微分の計算についての応用です.この節の内容が無理なく理解できれば偏微分の基礎についてはある程度できたと思ってよいでしょう.練習問題1と2は計算問題です.習熟度に応じていくつか練習してみること.3〜9は一組の問題でこの順番でやってもいいですが,まず9番を自分で考えてみるのを進めます.9番の内容は勾配ベクトルの意味を考えると直観的にはそれほど難しいものではありません.しかし,実際に「証明」しようとすると困難を感じるはずです.それから3〜8をやってみると,直観的に明らかなことをどのように厳密に示すか,(また,それがどれほど手間がかかるか)がよくわかると思います.11〜13はおまけの問題ですが,多分物理学(力学や電磁気学)では出てくることと思います.
第5節
この節は偏微分の計算についての仕上げのような節です.合成関数の偏微分を考える時に多くの変数が出てくるので,混乱しがちなのでその点について注意が書いてあります.要するに「変数の関係によく注意して微分する」ということですが,練習問題を含めて自分の理解をよくチェックしてください.

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