- 問題１。正の定数 $c$ に対して、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{c}=1$ を示せ。(p51, 例2.13(ii))
-- 解答？：$a_n = \sqrt[n]{c}$と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = (c^{\tfrac1{2n}})^2 =c^{\tfrac1n} = a_n$ である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\infty} a_n$ となる。
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\infty} a_{2n})^2 = \alpha^2$ となる。
従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。
従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。
$a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ である。
従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。
-- （初級）この解答のどこが間違っているでしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを修正すれば良いでしょうか？
- 問題２。定数 $0\lt c \lt 1$ に対して、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} c^n=0$ を示せ。(p51, 例2.12(ii))
-- 解答？：$a_n = c^n$ と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$a_{n+1} = c a_n$ である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} c a_n = c \lim_{n\to\infty} a_n$.
ここで最後の等号では、定理2.8(2.38)を用いた。
従って、$\alpha=c \alpha$.
$c \neq 1$ なので、$\alpha=0$.
-- （初級）この解答のどこが間違っているでしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを修正すれば良いでしょうか？
- 問題３。$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ を示せ。(p51, 例2.13(ii))
-- 解答？：$a_n = \sqrt[n]{n}$と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = ((2n)^{\tfrac1{2n}})^2 =(2n)^{\tfrac1n} = 2^{\tfrac1n} n^{\tfrac1n} = 2^{\tfrac1n} a_n$ である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\infty} 2^{\tfrac1n} a_n$ となる。
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\infty} a_{2n})^2 = \alpha^2$ となる。
右辺は、定理2.8(2.37) と、上の問１より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} a_n =\lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} \lim_{n\to\infty} a_n
= 1 \times \alpha=\alpha$ となる。
従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。
従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。
$a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ である。
従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。
-- （初級）[問1の結果は自由に使って良いとしてもこの解答は誤っています。] この解答のどこが間違っているでしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを修正すれば良いでしょうか？
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