ochiai/quiz202005 のバックアップソース(No.4) - PukiWiki
- 問題1。定数 $c\gt 1$ に対して、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{c}=1$ を示せ。(p51, 例2.13(ii))

-- 解答?:$a_n = \sqrt[n]{c}$と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = (c^{\tfrac1{2n}})^2 =c^{\tfrac1n}  = a_n$ である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\infty} a_n$ となる。
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\infty} a_{2n})^2 = \alpha^2$ となる。
従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。
従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。
$a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ である。
従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。

-- (初級)この解答のどこが間違っているでしょうか。
-- (中級)この解答の趣旨に沿って直すにはどこを修正すれば良いでしょうか?

- 問題2。定数 $0\lt c \lt 1$ に対して、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} c^n=0$ を示せ。(p51, 例2.12(ii))

-- 解答?:$a_n = c^n$ と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$a_{n+1} = c a_n$ である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} c a_n = c \lim_{n\to\infty} a_n$.
ここで最後の等号では、定理2.8(2.38)を用いた。
従って、$\alpha=c \alpha$.
$c \neq 1$ なので、$\alpha=0$.

-- (初級)この解答のどこが間違っているでしょうか。
-- (中級)この解答の趣旨に沿って直すにはどこを修正すれば良いでしょうか?

- 問題3。$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ を示せ。(p51, 例2.13(i))

-- 解答?:$a_n = \sqrt[n]{n}$と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = ((2n)^{\tfrac1{2n}})^2 =(2n)^{\tfrac1n}  = 2^{\tfrac1n} n^{\tfrac1n} = 2^{\tfrac1n} a_n$ である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\infty} 2^{\tfrac1n} a_n$ となる。
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\infty} a_{2n})^2 = \alpha^2$ となる。
右辺は、定理2.8(2.37) と、上の問1より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} a_n =\lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} \lim_{n\to\infty} a_n
= 1 \times \alpha=\alpha$ となる。
従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。
従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。
$a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ である。
従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。

-- (初級)[問1の結果を自由に使って良いとしても] この解答は誤っています。どこが間違っているでしょうか。
-- (中級)この解答の趣旨に沿って直すにはどこを修正すれば良いでしょうか?

- 問題4。 $I=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x^4+4}$ を求めよ。(チャート式微積分 重要例題(演習編)52)

-- 解答? $I=\displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{x+2}{x^2+2x+2} - \frac{x-2}{x^2-2x+2} \right) dx$
$= \displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x+2}{x^2+2x+2} dx - \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x-2}{x^2-2x+2} dx$ $= \displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x+1}{x^2+1} dx  - \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x-1}{x^2+1} dx$ $=\displaystyle \frac14 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+1} dx=\frac14 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{4}$.

-- (初級)この解答のどこが間違っているでしょうか。
-- (中級)この解答の趣旨に沿って直すにはどこを修正すれば良いでしょうか?

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