原付免許筆記試験方式で学ぶ群論
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真偽を判定せよ。
- 位数２の群は巡回群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数３の群は巡回群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数４の群は巡回群である。[[答え>ochiai/no]]
- 巡回群の部分群は巡回群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 巡回群の部分群は正規部分群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 可換な部分群は正規部分群である。[[答え>ochiai/yes]]
- ２つの巡回群の直積は巡回群である。[[答え>ochiai/no]]
- 位数４の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数６の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/no]]
- 位数８の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１０の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１５の群はアーベル群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数５の群は位数５の元を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数６の群は位数６の元を含む。[[答え>ochiai/no]]
- 位数６のアーベル群は位数６の元を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数１２のアーベル群は位数１２の元を含む。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１２の群は位数３の元を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数１２の群は位数４の元を含む。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１２の群は位数４の部分群を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数１２の群は位数６の部分群を含む。[[答え>ochiai/no]]
- 位数１５の群は位数６の元は含まない。[[答え>ochiai/yes]]
- 位数１５の群は位数５の元を含む。[[答え>ochiai/yes]]
- 群の位数１の元は単位元に限る。[[答え>ochiai/yes]]
- $S_4$ は可換群である。[[答え>ochiai/no]]
- 巡回群は可換群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 群の一つの元から生成される部分群は必ず可換群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 3次正方行列のなす環 $M_3(\mathbb{R})$ では、$A+B=B+A$ が成り立つので、
$M_3(\mathbb{R})$ は可換環である。[[答え>ochiai/no]]
- $\mathbb{Z}$ の単元全体は有限群である。[[答え>ochiai/yes]]
- $\mathbb{Z}$ は無限群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 偶数の全体は $\mathbb{Z}$ の部分群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 素数でない整数の全体は$\mathbb{Z}$ の部分群である。[[答え>ochiai/no]]
- $S_3$ の「位数２の元の全体と単位元」は部分群である。[[答え>ochiai/no]]
- $\mathbb{Z}$ の自明でない部分群はすべて無限群である。[[答え>ochiai/yes]]
- 無限巡回群は$\mathbb{Z}$ と「同型」である。[[答え>ochiai/yes]]
- $G$ が無限群のときは、部分群$H$ の指数 $(G:H)$ は必ず無限大になる。[[答え>ochiai/no]]
- 可換群$G$の部分群$H$による左剰余類$ gH$ と右剰余類$Hg$ は同じ集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 有限群$G$の部分群$H$による左剰余類$ gH$ と右剰余類$Hg$は元の個数は等しいが集合としては同じであるとは限らない。[[答え>ochiai/yes]]
[[解説>ochiai/answer]]
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