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コメント
- 2/6-2. $\mathbb{R}^2$ の $l^1$ と $l^2$ のノルム。
- 2/6-3. $\tan: (-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \mathbb{R}$ は同相。定義域は有界、値域は有界でない。
- 2/6-4. 例えば Hausdorff でない空間は距離空間にはなれない。
- 1/30-1. $[0,1] \cup [3,5]$.
- 1/30-2. $\{ 1/n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}$.
- 1/30-3. $\cup_{n=1}^\infty [n,n+1] = [1, \infty)$.
- 1/30-4. $[0,1]$ の元で、小数で表示した時にどの桁も2または3, という条件を満たすものの全体は、
非可算集合であり、コンパクトであり、内点を持たない。
- 1/30-6. 補有限位相。
- 1/30-7. T$_1$ を満たさないが T$_3$ を満たす例がある。例えば、
$S=\{1,2,3\}$, $\mathfrak{O} = \{ \emptyset, S, \{1\}, \{2,3\} \}$
- 1/23-1. 反例 $S=[0,1], S'=\mathbb{R}, f(x)=x$.
- 1/23-2. 反例 $S=\mathbb{R}, S'=[-2,1], f(x) = \sin x$.
- 1/23-3, 4. 反例. 集合として $S=S'$, $S'$ に密着位相、$S$ に離散位相を入れる。
- 1/23-5. 有限集合は常にコンパクト。
- 12/5-1. 反例 $A=(0,2), B=(2,5)$。
- 12/5-2. p197 定理２の証明の４行目。
- 12/5-3. 補集合は $C_x$ で閉集合。p198 定理4.
- 11/28-2. 反例は 12/28-4.
- 11/28-5. ナンセンス問題。$M=\mathbb{R}, N=(0,1) \cup (2,3)$ が反例。
- 11/14-1. p183, 定理22の特別な場合。
- 11/14-2. 反例：p166 の中程の注意。p153 例１(b).
- 11/14-3. $(A_1 \times A_2)^c = (A_1^c \times S_2) \cup (S_1 \times A_2^c)$.
- 11/14-4. $S$ 密着位相。
- 11/7-1. 密着位相から離散位相。
- 11/7-5. $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x$.
- 11/7-6. $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x$.
- 10/31-1. $[0,2)$ は $1$ の近傍。
- 10/31-2. 離散位相空間の任意の集合は閉集合。
- 10/31-4. $(0,1)$ を表せない。
- 10/24-6. 反例 $\mathbb{R}$.
- 10/17-1. $\mathfrak{A} = \{ O^c \mid O \in \mathfrak{O} \}$ である。あるいは、$\mathfrak{A} \cap \mathfrak{O} \ni \emptyset, S$.
- 10/17-2から5. $N= (-\infty, 0) \cup ([0,10] \cap (\mbox{有理数})) \cup (10,\infty)$ である。
結局 $\sqrt{2}$ のあたりしか関係ないので、$N=\mathbb{Q}$, $M=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ を考えることと同じ。
- 10/11-3. 密着位相。
- 10/11-4. 離散位相。
「集合論だけど」
- 1 は 2から従う。
- 2 は対角線論法。p83 (3.15).
- 3 は 2 から従う。
- 4 は p84 (3.18).
- 5 は 4 から従う。
- 6 は p80 定理9 と (3.18).
- 7 は p78 問題6.
- 8 は p74 定理7 より。
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