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講義の進捗状況(2012 代数)

• 教科書 に沿って行う。
• 第２章（群の定義）から始める。
• 2.1 節：群の定義。 例2.1.6、ならびに乗法表はしなかった。例題2.1.7 そのものはしなかったがその直後の説明はした。簡約法則(命題2.1.8)はしていない。例題 2.1.9 もしていない。単位元や逆元の一意性(命題2.1.10)はしてない。 置換群 S_n の定義はした。一般線形群の定義はした。（実係数）

• 2.2節：環と体の定義 環、単元、$A^\times$ の定義はした。体の定義はした。命題2.2.3 はしていない。例 2.2.4 $\mathbb{Z}^\times =\{1,-1\}$, $M_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R})$ はした。 定義 2.2.5 もした。 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ はやってない。 modulo もまったく言及していない。これらは演習で。

• 2.3節：部分群と生成元 命題 2.3.2 は証明を少しかえた。部分群の共通部分は部分群(命題 2.3.3)の証明はした。 例 2.3.4, 2.3.5 は簡単にした。2.3.6-7-8-9-10-12はしていない。($SL_n$ や $O(n)$, $U(n)$ などの定義および部分群であることはいっさい触れてない。モジュラー群もしてない。) 四元数群(例 2.3.11) はした。
• 群の生成に関しては、S が複数の元からなっているときにもS を生成元と教科書では呼ぶようであるが、日本語では気持ちが悪いので生成系と講義では呼んだ。学生は教科書を見て、生成元と呼ぶかもしれない。（それはそれでいいけど。）命題2.3.13(word の全体が部分群になること、および、最小性)の証明はしてない。後で、命題2.5.12 のあたりで再論した。
• 巡回群の定義(2.3.16)はした。例は演習で。 一つの元で生成される部分群が $\{ x^n \mid n \in \mathbb{Z} \}$ という形になってい ることは述べた。（p34) これが無限集合とは限らない可能性は言及した。命題 2.3.19, 例 2.3.20(G=S_3 の場合の生成された部分群の例) はしてない。 直積はした。

• 2.4節：元の位数 元の位数は定義して、$S_3$ の位数2,3 の元の例(例2.4.4)は挙げた。 例 2.4.2-3はしてない。 ４節の後半の整数、互除法などはしてない。演習で出てきた。

• 2.5 節：準同形と同型 2.5.1, 2.5.3 はした。 2.5.2, 2.5.12 と 2.5.4-5-6-7-8-9 はしてない。 例 2.5.10 はした。 命題 2.5.12 は丁寧にした。証明は変更。$H=\{ x \in G_1 \mid \phi_1(x) = \phi_2(x) \}$ と定義して、$H$ が部分群であることと $S \subset H$ とを示して、命題 2.3.13(2) を使う方法。 命題 2.5.13 はした。 2.5.14