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原付免許筆記試験方式で学ぶ群論の解答です。

原付免許筆記試験では、Yes/No だけを書くのですが、Yes/Noだけを書いていくと、番号がずれたりして間違いが生じやすいので、文章で書きます。

  • 位数が素数の群は巡回群である。特に位数が2や3の群は巡回群である。
  • $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は位数4の群であるが、巡回群ではない。
  • 巡回群の部分群は巡回群である。巡回群の商群も巡回群である。
  • アーベル群の部分群は正規部分群である。巡回群はアーベル群である。従って、巡回群の部分群は正規部分群である。
  • 3次対称群の位数2の元を一つ取り、それで生成される部分群を考える。この部分群は可換群であり、正規部分群でない。
  • $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は2つの巡回群の直積であるが、巡回群ではない。
  • 位数4の群は、巡回群$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ か $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ のいずれかに同型である。したがって、アーベル群である。より一般に素数の2乗の位数を持つ群はアーベル群である。
  • 3次対称群$S_3$は位数6の群であり、アーベル群でない。
  • 4次の2面体群(正方形でできた厚紙のなす対称性)は位数8の群であり、アーベル群でない。
  • 5次の2面体群(正5角形の厚紙をその厚紙に写す変換全体)は位数10の群であり、アーベル群でない。
  • シローの定理の応用として、位数が15の群がアーベル群であることがわかる。(非自明)
  • 位数が素数の群は巡回群であるから、位数が5の群は巡回群である。したがって、位数5の元を含む。
  • 3次対称群は位数6の群であるが、位数6の元を含まない。 一般に位数$n$の群が位数$n$の元を含めば、その群は位数$n$の巡回群である。
  • 位数6のアーベル群は巡回群 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ に同型である。従って、位数6の元を含む。
  • $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$は、位数12の群であり、位数12の元を含まない。
  • 位数12の群の3シロー群の位数は3である。位数3が素数なので、巡回群であり、位数3の元を含む。
  • $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$は、位数12の群であり、位数4の元を含まない。
  • 位数12の群の2シロー群の位数は4である。したがって、位数が4の部分群が必ず存在する。
  • 4次交代群は指数2の部分群を含まない。4次交代群の位数は $4!/2=12$ である。したがって、位数12の群で位数6の部分群を含まないものが存在する。なお、最初の主張は例えば、次のより一般的な事実から導くことができる。正規部分群による剰余群が可換群であれば、その正規部分群は交換子群を含む。4次交代群の交換子群はクラインの4元群である。4次交代群の中でのクラインの4元群の指数は3である。従って、4次交代群の正規部分群で、指数が素数となるものは、クラインの4元群に限られる。

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Last-modified: 2012-11-14 (水) 15:19:47 (3303d)