ochiai/quiz

原付免許筆記試験方式で学ぶ群論

環論はこちら

表現論はこちら

位相空間論はこちら

雑多な問題はこちら

• ノート

このページには遊びの内容しか含まれていませんので、このページの内容は自由に転載してかまいません。また、このページに誤りがあることによって単位が取れなくて卒業できなかったなどの損害の責任を負うことはできませんが、可能な限り間違いは正していきますので、もし見つけたらご一報ください。（落合啓之）

真偽を判定せよ。

• 位数２の群は巡回群である。答え
• 位数３の群は巡回群である。答え
• 位数４の群は巡回群である。答え
• 巡回群の部分群は巡回群である。答え
• 巡回群の部分群は正規部分群である。答え
• 可換な部分群は正規部分群である。答え
• ２つの巡回群の直積は巡回群である。答え
• 位数４の群はアーベル群である。答え
• 位数６の群はアーベル群である。答え
• 位数８の群はアーベル群である。答え
• 位数１０の群はアーベル群である。答え
• 位数１５の群はアーベル群である。答え
• 位数５の群は位数５の元を含む。答え
• 位数６の群は位数６の元を含む。答え
• 位数６のアーベル群は位数６の元を含む。答え
• 位数１２のアーベル群は位数１２の元を含む。答え
• 位数１２の群は位数３の元を含む。答え
• 位数１２の群は位数４の元を含む。答え
• 位数１２の群は位数４の部分群を含む。答え
• 位数１２の群は位数６の部分群を含む。答え
• 位数１５の群は位数６の元は含まない。答え
• 位数１５の群は位数５の元を含む。答え

• 群の位数１の元は単位元に限る。答え
• $S_4$ は可換群である。答え
• 巡回群は可換群である。答え
• 群の一つの元から生成される部分群は必ず可換群である。答え
• 3次正方行列のなす環 $M_3(\mathbb{R})$ では、$A+B=B+A$ が成り立つので、 $M_3(\mathbb{R})$ は可換環である。答え
• $\mathbb{Z}$ の単元全体は有限群である。答え
• $\mathbb{Z}$ は無限群である。答え
• 偶数の全体は $\mathbb{Z}$ の部分群である。答え
• 素数でない整数の全体は$\mathbb{Z}$ の部分群である。答え
• $S_3$ の「位数２の元の全体と単位元」は部分群である。答え
• $\mathbb{Z}$ の自明でない部分群はすべて無限群である。答え
• 無限巡回群は$\mathbb{Z}$ と「同型」である。答え
• $G$ が無限群のときは、部分群$H$ の指数 $(G:H)$ は必ず無限大になる。答え
• 可換群$G$の部分群$H$による左剰余類$ gH$ と右剰余類$Hg$ は同じ集合である。答え
• 有限群$G$の部分群$H$による左剰余類$ gH$ と右剰余類$Hg$は元の個数は等しいが集合としては同じであるとは限らない。答え

解説

レポート問題

位相の試験から