ochiai/quiz202005

問題１。正の定数 $c$ に対して、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{c}=1$ を示せ。(p51, 例2.13(ii))

解答？：$a_n = \sqrt[n]{c}$と置く。 $\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。 $\displaystyle a_{2n}^2 = (c^{\tfrac1{2n}})^2 =c^{\tfrac1n} = a_n$ である。両辺の極限をとって、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\infty} a_n$ となる。左辺は、定理2.8(2.37) より、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\infty} a_{2n})^2 = \alpha^2$ となる。従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。 $a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ である。従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。

問題２。定数 $0\lt c \lt 1$ に対して、$\displaystyle \lim_{n\to\infty} c^n=0$ を示せ。(p51, 例2.12(ii))

解答？：$a_n = c^n$ と置く。 $\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。 $a_{n+1} = c a_n$ である。両辺の極限をとって、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} c a_n = c \lim_{n\to\infty} a_n$. ここで最後の等号では、定理2.8(2.38)を用いた。従って、$\alpha=c \alpha$. $c \neq 1$ なので、$\alpha=0$.

解答？：$a_n = \sqrt[n]{n}$と置く。 $\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。 $\displaystyle a_{2n}^2 = ((2n)^{\tfrac1{2n}})^2 =(2n)^{\tfrac1n} = 2^{\tfrac1n} n^{\tfrac1n} = 2^{\tfrac1n} a_n$ である。両辺の極限をとって、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\infty} 2^{\tfrac1n} a_n$ となる。左辺は、定理2.8(2.37) より、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\infty} a_{2n})^2 = \alpha^2$ となる。右辺は、定理2.8(2.37) と、上の問１より、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} a_n =\lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \times \alpha=\alpha$ となる。従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。 $a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ である。従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。