ochiai/quiz202005

問題１。定数 $c\gt 1$ に対して、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{c}=1$ を示せ。(p51, 例2.13(ii))

解答？： $a_n = \sqrt[n]{c}$ と置く。 $\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。 $\displaystyle a_{2n}^2 = (c^{\tfrac1{2n}})^2 =c^{\tfrac1n} = a_n$ である。両辺の極限をとって、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\infty} a_n$ となる。左辺は、定理2.8(2.37) より、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\infty} a_{2n})^2 = \alpha^2$ となる。従って、 $\alpha^2=\alpha$ となる。従って、 $\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。 $a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ である。従って、 $\alpha=1$ が示せた。証明終わり。

（初級）この解答のどこが不備でしょうか。
（中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良いでしょうか？

問題２。定数 $0\lt c \lt 1$ に対して、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} c^n=0$ を示せ。(p51, 例2.12(ii))

解答？： $a_n = c^n$ と置く。 $\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。 $a_{n+1} = c a_n$ である。両辺の極限をとって、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} c a_n = c \lim_{n\to\infty} a_n$ . ここで最後の等号では、定理2.8(2.38)を用いた。従って、 $\alpha=c \alpha$ . $c \neq 1$ なので、 $\alpha=0$ .

（初級）この解答のどこが不備でしょうか。
（中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良いでしょうか？

問題３。 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$ を示せ。(p51, 例2.13(i))

解答？： $a_n = \sqrt[n]{n}$ と置く。 $\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。 $\displaystyle a_{2n}^2 = ((2n)^{\tfrac1{2n}})^2 =(2n)^{\tfrac1n} = 2^{\tfrac1n} n^{\tfrac1n} = 2^{\tfrac1n} a_n$ である。両辺の極限をとって、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\infty} 2^{\tfrac1n} a_n$ となる。左辺は、定理2.8(2.37) より、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\infty} a_{2n})^2 = \alpha^2$ となる。右辺は、定理2.8(2.37) と、上の問１より、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} a_n =\lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \times \alpha=\alpha$ となる。従って、 $\alpha^2=\alpha$ となる。従って、 $\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。 $a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ である。従って、 $\alpha=1$ が示せた。証明終わり。

（初級）[問1の結果を自由に使って良いとしても] この解答のどこが不備でしょうか。
（中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良いでしょうか？

問題４。 $I=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x^4+4}$ を求めよ。（チャート式微積分　重要例題（演習編）52）

解答？ $I=\displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{x+2}{x^2+2x+2} - \frac{x-2}{x^2-2x+2} \right) dx$ $= \displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x+2}{x^2+2x+2} dx - \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x-2}{x^2-2x+2} dx$ $= \displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x+1}{x^2+1} dx - \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x-1}{x^2+1} dx$ $=\displaystyle \frac14 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+1} dx=\frac14 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{4}$ .

（初級）この解答のどこが不備でしょうか。
（中級）この解答の趣旨に沿って直すには何を補えば良いでしょうか？

問題5。 $[-a,a]$ で定義された奇関数 $f$ が逆関数 $f^{-1}$ を持てば、 $f^{-1}$ も奇関数である。（教科書、命題5.2, p163。)

証明。 $I=[-a,a]$ と書き、 $f$ の像を $J=f(I)=f([-a,a])$ と書く。 $J$ も $-1$ 倍に関して対称である。すなわち、 $y \in J$ ならば $-y \in J$ である( なぜなら $x \in I$ が存在して $y=f(x)$ なので $-y=-f(x)=f(-x) \in f(I)=J$ )。この時、上で示した $-y=f(-x)$ の両辺を $f^{-1}$ で移すと、 $f^{-1}(-y) = -x =- f^{-1}(y)$ となるので、 $f^{-1}$ は奇関数である。証明終わり。

補足：連続性や狭義単調増加性はこの述べ方ならば不要である。 $I$ が区間であることも必要なくて、性質「 $x \in I$ ならば $-x \in I$ 」だけがあれば十分である。

問題６。 $f(x)$ は $[0,\infty)$ で連続、 $(0,\infty)$ で微分可能とする。 $f(0)=0$ , $\displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x)=0$ とする。この時、 $f'(c)=0$ となる $c\gt 0$ が存在することを示せ。
　解答： $x=g(t)=t/(1-t)$ という関数を考える。 $h=f\circ g$ とする。 $h$ が $[0,1]$ 上の連続関数であることを示す。すると $h$ にロルの定理が使えて、 $0\lt d\lt 1$ が存在して $h'(d)=0$ となる。 $d=g(c)$ となるように $c$ を決める $c=d/(1+d)$ と、 $f'(c)=0$ である。

自然数の集合 $\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$ の冪集合 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ から実数直線上の半開区間 [0,1) への全単射を具体的に構成する。(「自然数の冪集合の濃度が実数の濃度と一致する」ことを、ベルンシュタインの定理を明示的には使わずに、証明できる。）補助的に $f: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to [0,1]$ を $f(A) = \displaystyle\sum_{n \in A} 2^{-n}$ で定める。目的の $g:\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to [0,1)$ は次のように３通りに分けて定義する。(i) $A$ が有限集合の時には $g(A)=f(A)/2$ 。(ii) $A$ の補集合 $A^c$ が有限集合の場合は $g(A)=(1+f(A^c))/2$ . (ii) その他の時は $g(A)=f(A)$ . この時、 $g$ は全単射である。なお、(i)(ii) の場合は $g(A)$ は $2$ の冪を分母とする有理数で表される。(iii) の場合は $g(A)$ は $2$ の冪を分母とする有理数で表されない。

2の３乗根が1.26 ぐらいであることの計算の概略。(5/4)^3=(10/8)^3=10^3/2^9=1000/512 \fallingdotseq 1000/500=2 なので、2の３乗根が大体 1.25 ぐらいであることがわかる。そこで、(5/4+\varepsilon)^3=2 とする。先ほどと同じ変形を使って、(1+\frac 45 \varepsilon)^3=2\times (4/5)^3=2^{10}/10^3=1024/1000=1.024 となる。左辺を　\varepsilon に関して原点でテーラー展開して１次式で近似すると、1.024=(1+\frac 45 \varepsilon)^3 \fallingdotseq 1+3\times\frac45 \varepsilon=1+2.4 \varepsilon となる。これを解いて、\varepsilon \fallingdotseq 0.01 となり、\sqrt[3]{2} = 1.25 + \varepsilon \fallingdotseq 1.26. 実際の誤差は 1.26-\sqrt[3]{2}\fallingdotseq 8\times 10^{-5} ぐらいなので、近似はかなり良いです。
- 同じようなプロジェクトのために素材を置いておきます。 $\sqrt[5]{109} = 2.555555397...$ , $109 \times 2^{11} \times 99 + 2^5= 221\times 10^5$ , $5/2\times \sqrt[5]{221/198}=2.5555561...$ , $\displaystyle\lim_{x\to 1/45} 1+5x(1+x)/(1-x)=221/198$ , $1+5x(1+x)/(1-x)-(1+x)^5 =x^4(5+4x+x^2)/(1-x)$ , $5/2\times \displaystyle\lim_{x\to 1/45} (1+x)=23/9\fallingdotseq 2.555555...$
- $\sqrt[4]{10.5}=1.800103.....\fallingdotseq 1.8 = 9/5$ .
- $\sqrt{5\sqrt{6}}=3.49964...\fallingdotseq 3.5=7/2$ .
- $\sqrt[10]{173/3} = 1.5000042... \fallingdotseq 1.5 = 3/2$ .
- これらは good ABCのリストから、それぞれ、quality が 1.6299, 1.5679, 1.4557, 1.4127 のものを拾っています。なお、最初の $\sqrt[3]{2}$ の近似 $5/4$ は quality $=1.4266$ に対応しています。なお、現在の順位はそれぞれ、1位、5位、37位、168位、115位ですが、順位は下がることがあります。