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原付免許筆記試験方式で学ぶ環論

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真偽を判定せよ。

$\mathbb{Z}$ は整域である。答え
体は整域である。答え
整域は体である。答え
$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ は整域である。答え
零因子はべき零元である。答え
べき零元は零因子である。答え
べき等元は単位元である。答え
単位元はべき等元である。答え
0 はべき等元である。答え
整域のべき等元は0 と単位元のみである。答え
べき等元は単位元である。答え
べき単元は単元である。答え
単元はべき単元である。答え
$\mathbb{R}$ には単元が無限個存在する。答え
体の単元全体は群をなす。答え
可換環の単元全体は群をなす。答え
$( 2,x ) \subset \mathbb{Z}[x]$ は素イデアル。答え
$( 2,x ) \subset \mathbb{Z}[x]$ は極大イデアル。答え
$( 10,x ) \subset \mathbb{Z}[x]$ は素イデアル。答え
$( 10,x ) \subset \mathbb{Z}[x]$ は極大イデアル。答え
素イデアルは極大イデアルである。答え
極大イデアルは素イデアルである。答え
イデアルは部分環である。答え
部分環はイデアルである。答え
部分環の部分環は部分環である。答え
行列環 $M_2({\mathbb{R}})$ の左イデアルは無限個ある。答え
$M_2({\mathbb{R}})$ の両側イデアルは無限個ある。答え
$M_2({\mathbb{Z}}/(2))$ の左イデアルは５個ある。答え
$\mathbb{Z}$ を係数とする１変数多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ では、２つの多項式の積の次数は次数の和である。答え
$\mathbb{Z}[x]$ では、２つの多項式の和の次数は次数のうちの大きい方である。答え
$\mathbb{Z}/(4)$ を係数とする１変数多項式環では、２つの多項式の積の次数は次数の和である。答え
元の個数が２個の環は体。答え
元の個数が３個の環は体。答え
元の個数が４個の環は体ではない。答え
標数が２の体は ${\mathbb{Z}}/(2)$ と同型である。答え
有限環は体。答え
有限整域は体。答え
整域の素元は既約元。答え
整域の既約元は素元。答え
一意分解環の既約元は素元。答え
一意分解環の素元は既約元。答え
単項イデアル整域は一意分解環。答え
一意分解環は単項イデアル整域。答え
ユークリッド環は単項イデアル整域。答え
単項イデアル整域はユークリッド環。答え
単元は、部分環の単元でもある。答え
部分環の単元なら、単元。答え
零因子は、部分環の零因子でもある。答え
部分環の零因子なら、零因子。答え
環準同型写像の核はイデアル。答え
環準同型写像の像はイデアル。答え
環準同型写像の像は部分環。答え
$\phi: \mathbb{C}[x,y] \rightarrow \mathbb{C}[t]$ を $\phi(f)(t) = f(t^3,t^2)$ によって定まる環準同型とする。 $\phi$ は全射である。答え
$\phi$ の像は正規である。答え
$\phi$ の核は単項イデアルである。答え
$\phi$ の核は素イデアルである。答え
$\phi$ の核は極大イデアルである。答え
$(x^2+1,3) \subset \mathbb{Z}[x]$ は極大イデアルである。答え
$(x^2+2,3) \subset \mathbb{Z}[x]$ は極大イデアルである。答え
$\mathbb{C}[x, 1/x]$ は単項イデアル整域である。答え
$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ は一意分解環である。答え
なるべく異なった環を５つ挙げよ。（これは運転免許筆記試験の出題形式ではありません。）

解説(未作成) 部分環が単位元を含むかなどの流儀に関しては、雪江「代数学２」に基づいています。質問の内容は、2012,2013の講義や演習から拾ったものです。