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コメント
- 12/18-3,4. と S' が同相で、S が性質Pを持てば S' も性質P を持つ時に、位相的性質という。
- 12/11-4. S=\mathbb{R}^2. M= \{ (x,y) \mid x^2 \geq 1 \} \cup \{ (x,0) \mid x \in \mathbb{R} \}.
この時、M^\circ = \{ (x,y) \mid x^2 \gt 1 \}. ``橋の細い部分が切れる。
- 12/11-5. 閉集合は有限集合か全体集合。それが開集合にもなるのは、いつかを考えよ。
- 12/11-6. 離散位相になる。
- 11/27-1. (3,4] \subset (0,4] \subset \mathbb{R}.
- 11/27-2. p193 問3。
- 11/27-3. 定理25(b).
- 11/27-4. f=i \circ f'_1. 連続写像の合成。
- 11/27-5. S=S'= \{1,2,3\}, \mathfrak{O}'= \{ \emptyset, \{1,2\}, S'\},
f(i)=i, g(i)=4-i とする。
- 11/27-6. t=1 の近傍は t=-1 の近傍と必ず交わる。
- 11/13-1. 開写像と混同。
- 11/13-2. f^{-1}(a) と書ける。1点(閉集合)の逆像。
- 11/13-3. (a,b) \rightarrow \mathbb{R}.
- 11/13-4. f^{-1}(A)^c = f^{-1}(A^c).
- 11/13-5,6 は 8,9 から反例ができる。例えば、\mathfrak{O} を離散位相、\mathfrak{O}' を密着位相とすれば、5 の反例。
- 11/13-10.
- 11/6-2. \mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathbb{Q} \}, \mathfrak{B}_2 = \{ (a,b) \mid a-\sqrt{2}, b-\sqrt{2} \in \mathbb{Q} \}.
- 11/6-3. \mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathbb{Q} \} は可算。\mathfrak{O} 自身も基底であり、非可算。
- 11/6-4. \mathfrak{M} = \{ (a,\infty) \mid a \in \mathbb{R} \} \cup \{ (-\infty,b) \mid b \in \mathbb{R} \} は準基底。O=(3,7), x=4 などとすれば、M \subset O となることができない。
- 11/6-5. 定理15.
- 10/30-1. [1,4) は 3 の近傍。
- 10/30-2. 定義
- 10/30-3. 最初の条件からは、\mathfrak{O}_1 の方が弱い、
2つ目の条件からは \mathfrak{O}_1 の方が強いことが従うので、同じ位相になる。
- 10/30-4. 位相は全順序ではない。例えば、p153, 例1(b) の \mathfrak{O}_2 と \mathfrak{O}_3.
- 10/30-5. 上の 10/30-1 と同じものが反例になる。x=3, V=[1,4), y=1 とすれば V は y の近傍ではない。
- 10/23-2. ユークリッド空間の普通の位相が反例。
- 10/23-3. 離散位相。
- 10/23-4. 補有限位相。(S が無限集合の時。)
- 10/16-3. \mathfrak{O} \subset \mathfrak{P}(S) が正しい。
- 10/16-4. 例えば反例は、密着位相。この時 \mathfrak{O} の濃度は2.
- 10/16-5. 例えば反例は、離散位相。
- 10/16-6. M\setminus \{x\} = M より。
- 10/16-7. x \in M \subset \overline{M} より。
- 10/16-8. 孤立点の定義より。
- 10/16-9. 証明。x \in S が S の集積点でないから、x \notin \overline{S \setminus \{ x\}}= \{ x\}^{ca}=\{x\}^{ic}. つまり、x \in \{ x \}^i. つまり \{ x \} \subset \{x\}^i. 逆向きの包含関係 \{ x\}^i \subset \{ x \} が (2.1) より成立するので、\{x\}^i = \{ x \}. つまり、\{x \} は開集合。勝手な集合は1点集合の和集合にかけるので、勝手な集合も開集合。したがって離散位相空間。
- 2/6-2. \mathbb{R}^2 の l^1 と l^2 のノルム。
- 2/6-3. \tan: (-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \mathbb{R} は同相。定義域は有界、値域は有界でない。
- 2/6-4. 例えば Hausdorff でない空間は距離空間にはなれない。
- 1/30-1. [0,1] \cup [3,5].
- 1/30-2. \{ 1/n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}.
- 1/30-3. \cup_{n=1}^\infty [n,n+1] = [1, \infty).
- 1/30-4. [0,1] の元で、小数で表示した時にどの桁も2または3, という条件を満たすものの全体は、
非可算集合であり、コンパクトであり、内点を持たない。
- 1/30-6. 補有限位相。
- 1/30-7. T_1 を満たさないが T_3 を満たす例がある。例えば、
S=\{1,2,3\}, \mathfrak{O} = \{ \emptyset, S, \{1\}, \{2,3\} \}
- 1/23-1. 反例 S=[0,1], S'=\mathbb{R}, f(x)=x.
- 1/23-2. 反例 S=\mathbb{R}, S'=[-2,1], f(x) = \sin x.
- 1/23-3, 4. 反例. 集合として S=S', S' に密着位相、S に離散位相を入れる。
- 1/23-5. 有限集合は常にコンパクト。
- 12/5-1. 反例 A=(0,2), B=(2,5)。
- 12/5-2. p197 定理2の証明の4行目。
- 12/5-3. 補集合は C_x で閉集合。p198 定理4.
- 11/28-2. 反例は 11/28-4.
- 11/28-5. ナンセンス問題。M=\mathbb{R}, N=(0,1) \cup (2,3) が反例。
- 11/14-1. p183, 定理22の特別な場合。
- 11/14-2. 反例:p166 の中程の注意。p153 例1(b).
- 11/14-3. (A_1 \times A_2)^c = (A_1^c \times S_2) \cup (S_1 \times A_2^c).
- 11/14-4. S 密着位相。
- 11/7-1. 密着位相から離散位相。
- 11/7-5. f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x.
- 11/7-6. f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x.
- 10/31-1. [0,2) は 1 の近傍。
- 10/31-2. 離散位相空間の任意の集合は閉集合。
- 10/31-4. (0,1) を表せない。
- 10/24-6. 反例 \mathbb{R}.
- 10/17-1. \mathfrak{A} = \{ O^c \mid O \in \mathfrak{O} \} である。あるいは、\mathfrak{A} \cap \mathfrak{O} \ni \emptyset, S.
- 10/17-2から5. N= (-\infty, 0) \cup ([0,10] \cap (\mbox{有理数})) \cup (10,\infty) である。
結局 \sqrt{2} のあたりしか関係ないので、N=\mathbb{Q}, M=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} を考えることと同じ。
- 10/11-3. 密着位相。
- 10/11-4. 離散位相。
「集合論だけど」
- 1 は 2から従う。
- 2 は対角線論法。p83 (3.15).
- 3 は 2 から従う。
- 4 は p84 (3.18).
- 5 は 4 から従う。
- 6 は p80 定理9 と (3.18).
- 7 は p78 問題6.
- 8 は p74 定理7 より。
Last-modified: 2017-12-23 (土) 10:46:33