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12/18-3,4. $S$ と $S'$ が同相で、$S$ が性質Pを持てば $S'$ も性質P を持つ時に、位相的性質という。
12/11-4. $S=\mathbb{R}^2$. $M= \{ (x,y) \mid x^2 \geq 1 \} \cup \{ (x,0) \mid x \in \mathbb{R} \}$. この時、$M^\circ = \{ (x,y) \mid x^2 \gt 1 \}$. ``橋の細い部分が切れる。
12/11-5. 閉集合は有限集合か全体集合。それが開集合にもなるのは、いつかを考えよ。
12/11-6. 離散位相になる。
11/27-1. $(3,4] \subset (0,4] \subset \mathbb{R}$.
11/27-2. p193 問３。
11/27-3. 定理25(b).
11/27-4. $f=i \circ f'_1$. 連続写像の合成。
11/27-5. $S=S'= \{1,2,3\}, \mathfrak{O}'= \{ \emptyset, \{1,2\}, S'\}, f(i)=i, g(i)=4-i$ とする。
11/27-6. $t=1$ の近傍は $t=-1$ の近傍と必ず交わる。
11/13-1. 開写像と混同。
11/13-2. $f^{-1}(a)$ と書ける。１点（閉集合）の逆像。
11/13-3. $(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$.
11/13-4. $f^{-1}(A)^c = f^{-1}(A^c)$.
11/13-5,6 は 8,9 から反例ができる。例えば、$\mathfrak{O}$ を離散位相、$\mathfrak{O}'$ を密着位相とすれば、5 の反例。
11/13-10.

11/6-2. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathbb{Q} \}$, $\mathfrak{B}_2 = \{ (a,b) \mid a-\sqrt{2}, b-\sqrt{2} \in \mathbb{Q} \}$.
11/6-3. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathbb{Q} \}$ は可算。$\mathfrak{O}$ 自身も基底であり、非可算。
11/6-4. $\mathfrak{M} = \{ (a,\infty) \mid a \in \mathbb{R} \} \cup \{ (-\infty,b) \mid b \in \mathbb{R} \}$ は準基底。$O=(3,7)$, $x=4$ などとすれば、$M \subset O$ となることができない。
11/6-5. 定理15.
10/30-1. $[1,4)$ は $3$ の近傍。
10/30-2. 定義
10/30-3. 最初の条件からは、$\mathfrak{O}_1$ の方が弱い、２つ目の条件からは $\mathfrak{O}_1$ の方が強いことが従うので、同じ位相になる。
10/30-4. 位相は全順序ではない。例えば、p153, 例1(b) の $\mathfrak{O}_2$ と $\mathfrak{O}_3$.
10/30-5. 上の 10/30-1 と同じものが反例になる。$x=3$, $V=[1,4)$, $y=1$ とすれば $V$ は $y$ の近傍ではない。
10/23-2. ユークリッド空間の普通の位相が反例。
10/23-3. 離散位相。
10/23-4. 補有限位相。($S$ が無限集合の時。）
10/16-3. $\mathfrak{O} \subset \mathfrak{P}(S)$ が正しい。
10/16-4. 例えば反例は、密着位相。この時 $\mathfrak{O}$ の濃度は2.
10/16-5. 例えば反例は、離散位相。
10/16-6. $M\setminus \{x\} = M$ より。
10/16-7. $x \in M \subset \overline{M}$ より。
10/16-8. 孤立点の定義より。
10/16-9. 証明。$x \in S$ が $S$ の集積点でないから、$x \notin \overline{S \setminus \{ x\}}= \{ x\}^{ca}=\{x\}^{ic}$. つまり、$x \in \{ x \}^i$. つまり $\{ x \} \subset \{x\}^i$. 逆向きの包含関係 $\{ x\}^i \subset \{ x \}$ が (2.1) より成立するので、$\{x\}^i = \{ x \}$. つまり、$\{x \}$ は開集合。勝手な集合は１点集合の和集合にかけるので、勝手な集合も開集合。したがって離散位相空間。
2/6-2. $\mathbb{R}^2$ の $l^1$ と $l^2$ のノルム。
2/6-3. $\tan: (-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \mathbb{R}$ は同相。定義域は有界、値域は有界でない。
2/6-4. 例えば Hausdorff でない空間は距離空間にはなれない。
1/30-1. $[0,1] \cup [3,5]$.
1/30-2. $\{ 1/n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}$.
1/30-3. $\cup_{n=1}^\infty [n,n+1] = [1, \infty)$.
1/30-4. $[0,1]$ の元で、小数で表示した時にどの桁も2または3, という条件を満たすものの全体は、非可算集合であり、コンパクトであり、内点を持たない。
1/30-6. 補有限位相。
1/30-7. T$_1$ を満たさないが T$_3$ を満たす例がある。例えば、 $S=\{1,2,3\}$, $\mathfrak{O} = \{ \emptyset, S, \{1\}, \{2,3\} \}$

1/23-1. 反例 $S=[0,1], S'=\mathbb{R}, f(x)=x$.
1/23-2. 反例 $S=\mathbb{R}, S'=[-2,1], f(x) = \sin x$.
1/23-3, 4. 反例. 集合として $S=S'$, $S'$ に密着位相、$S$ に離散位相を入れる。
1/23-5. 有限集合は常にコンパクト。
12/5-1. 反例 $A=(0,2), B=(2,5)$。
12/5-2. p197 定理２の証明の４行目。
12/5-3. 補集合は $C_x$ で閉集合。p198 定理4.
11/28-2. 反例は 11/28-4.
11/28-5. ナンセンス問題。$M=\mathbb{R}, N=(0,1) \cup (2,3)$ が反例。
11/14-1. p183, 定理22の特別な場合。
11/14-2. 反例：p166 の中程の注意。p153 例１(b).
11/14-3. $(A_1 \times A_2)^c = (A_1^c \times S_2) \cup (S_1 \times A_2^c)$.
11/14-4. $S$ 密着位相。
11/7-1. 密着位相から離散位相。
11/7-5. $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x$.
11/7-6. $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x$.
10/31-1. $[0,2)$ は $1$ の近傍。
10/31-2. 離散位相空間の任意の集合は閉集合。
10/31-4. $(0,1)$ を表せない。
10/24-6. 反例 $\mathbb{R}$.
10/17-1. $\mathfrak{A} = \{ O^c \mid O \in \mathfrak{O} \}$ である。あるいは、$\mathfrak{A} \cap \mathfrak{O} \ni \emptyset, S$.
10/17-2から5. $N= (-\infty, 0) \cup ([0,10] \cap (\mbox{有理数})) \cup (10,\infty)$ である。結局 $\sqrt{2}$ のあたりしか関係ないので、$N=\mathbb{Q}$, $M=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ を考えることと同じ。
10/11-3. 密着位相。
10/11-4. 離散位相。

「集合論だけど」

1 は 2から従う。
2 は対角線論法。p83 (3.15).
3 は 2 から従う。
4 は p84 (3.18).
5 は 4 から従う。
6 は p80 定理9 と (3.18).
7 は p78 問題6.
8 は p74 定理7 より。