数学基礎Iの中間試験の問題から。講義で学習したものとは異なった解き方かもしれません。要素を取る議論は基本中の基本ではありますが、やや面倒なので、集合の間の等式や包含関係で回避できる時は、要素を取らずに答案を書くと言う手もあります。
- を示せ。
- 補集合を考えると、\cup (1/n,\infty) =(0,\infty) を示せば良い。(1/n,\infty) \subset (0,\infty) であるから、n に関する和集合を考えて、\cup (1/n,\infty) \subset (0,\infty) は OK。したがって、逆向きの包含関係 \cup (1/n,\infty) \supset (0,\infty) を示せば良い。要素をとって言い換える。\forall x \in (0,\infty) に対して、x \in \cup (1/n,\infty) を示せば良い。すなわち、\forall x\gt 0 に対して、ある自然数 n が存在して、x\gt 1/n が成り立っていれば良い。与えられた xに対して、n\gt 1/x となるような自然数 n が存在するからOK。
- \displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[0,1/n] =\{0\} を示せ。
- A_n = [0,1/n] とする。\cap A_n = \{0\} を示したい。
B_n=(-\infty,1/n], C=[0,\infty) とする。A_n=B_n \cap C である。ゆえに \cap A_n = \cap (B_n \cap C) = (\cap B_n) \cap C = (-\infty,0] \cap [0,\infty)= \{0\} である。ただし、3つ目の等号では一つ上で示した事実 \cap B_n = (-\infty,0] を用いた。証明終わり。
- \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty (1,2+1/n) = (1,3] を示せ。
- A_n=(1,2+1/n) とする。A_n \subset A_1 ゆえ、n に関する和集合を考えて \cup A_n \subset A_1. 一方、A_1 \subset \cup A_nである。したがって、\cup A_n = A_1.
証明終わり。
- B_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1/n \leq x \leq 1+1/n, -1/n \leq y \leq 1/n \} とする。\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty B_n = \{ (x,0) \mid 0 \leq x \leq 1\} であることを示せ。
- 長方形の4辺を用いて C_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq -1/n \},
D_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq 1+1/n \},
E_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq -1/n \},
F_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \leq 1/n \}
と定義すると、B_n = C_n \cap D_n \cap E_n \cap F_n である。
したがって、\cap B_n = \cap (C_n \cap D_n \cap E_n \cap F_n)
= (\cap C_n) \cap (\cap D_n) \cap (\cap E_n) \cap (\cap F_n) である。
\cap C_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq 1\},
\cap E_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \leq 0\},
\cap D_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\},
\cap F_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq 0\}
を示せば良い。
これらの等式の証明は1つ次元の低い
\cap (-\infty, 1+1/n] =(-\infty,1],
\cap (-\infty,1/n] = (-\infty,0],
\cap [-1/n,\infty) = [0,\infty)
に帰着されている。
これらは第1項目の等式を平行移動したり -1 倍して反転した式である。
陰関数の定理(定理9.1)が1次式の場合にどうなるか。
- 「F: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, F(a,b)=0, F_y(a,b)\neq 0 ならば、次の条件を満たすような \varphi(x) が一意的に存在する: F(x,\varphi(x))=0, \varphi'(x) = - F_x(x,\varphi(x))/F_y(x,\varphi(x)).」
- F(x,y) = c x+dy+e の場合にこの定理がどうなっているかを見る。まず、F(a,b)=0 なので e=-ca-db である。これを代入して、F(x,y)=c(x-a)+d(y-b) である。この時、F_y=d なので仮定は d \neq 0 となる。F(x,y)=0 を y について解くと y=b-\dfrac{d}{c} (x-a) となる。従って、y' = -\frac{d}{c} となる。F_y=d, F_x=c であるから、これは、要望していた \varphi'(x) = - F_x(x,\varphi(x))/F_y(x,\varphi(x)) と合致している。