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Very elementary introduction to representation theory by G. van Dijk

セミナーをしていて気がついたことをメモします。

• p1, line 4. $= =$ は $=$.
• p1, line -5. $b_{kl}$ は line 2 と同じく $b_{ij}$ で良い。
• p2, line 3. $k=0$ は $k=1$.
• p2, last line of section 1.1. i.e. の後にカンマが必要。
• p2から p3のdisplayed formula それぞれにカンマが必要。 (see p8, Examples)
• In the following lines よくわからん。
• Proposition 1.2.2(a) 単位行列を $1$ と書いていることに注意。
• Proposition 1.2.2(a) の証明で(c) を使っているので、(c) の証明で(a) を使っていないことに注意しながら証明を追う必要がある。
• p5, line 7. GL=general linear. 初学者向けの本としては書いておきたい。
• p5, line 7, non-singular のいいかえ。p2, line 8で既にこれが必要になっている。
• p5, Corollary 1.2.4. tr$(a X a^{-1})=$ tr$X$ も使う。 p1 に書いておくと良い。
• p5, line -4. is is は is.
• p6, line 4. $3!$ は $3$. その行の最後の $+$ も$-$ の方がよい。
• p7, Exercise 3(a). 最初の括弧は $[X,[Y,Z]]$ ではなく、$[[X,Y],Z]$.
• p7, Exercise 2. まじめな疑問として、M(2) で、$[X,Y]\neq0$ なのに $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ となるような例はあるのだろうか？ 斎藤新悟さんから文献を教えていただきました。 $X=\begin{pmatrix} 0 \quad 5\pi \\ -5\pi \quad 0 \end{pmatrix}, Y=\begin{pmatrix} 0 \quad 27\pi \\ -3\pi \quad 0 \end{pmatrix}$ という例がある。 このとき、$\exp(2X)=\exp(2Y)=\exp(2X+2Y)=I$ 単位行列となっていて、 $[2X,2Y]\neq O$ です。
• p8, Definition 2.1.1. 線形群の定義として、位相的条件などは課していない。
• p8, line -8, e.g. のあとにカンマが必要。
• p8, ilne -2, $M(n,\mathbb{R})$ は $M(2,\mathbb{R})$.
• p9, line 2, $M(n,\mathbb{R})$ は $M(3,\mathbb{R})$.
• p9, line 1. Write also... これらの４つは線形群ではない。（線形群の例ではない。） また、この時点では、似たような記号のものたちの間の対応は与えられておらず、 あとで、Theorem 2.1.3 で行う。
• p9, Theorem 2.1.3 の証明の４行目。 as one easily sees が前後のどちらにかかるか文法上不明。 おそらく、前者だと思うが。
• p9, line -2. SO$3,\mathbb{R})$はSO$(3,\mathbb{R})$.
• p10, line 11. so negative のあとのピリオドはカンマ。
• p10, SU(2,$\mathbb{C})$ のU と( の間隔がまちまち。
• p10, line 12, diag という記号の説明がない。それらをこの順に対角成分とする対角行列。
• p10, line -4. SO(3,$\mathbb{R}$) の部分群となる理由は何だろうか？ 連続性を使う？
• p11, line 6, representation. 通常の用語と合わせると、 Ad:$G \rightarrow$ SO(3,$\mathbb{R}$) が表現という感じだが。
• p13, line -6. $exp$ は $\exp$.
• p14 [Ros]. なんとうっかりしたことか、この冊子に参考文献がついていない。 Rossman と推察される。
• Theorem 3.1.1 のmeaning の大きな式の左辺の分子の ad X にマイナスが欠落している。
• p15から16 の証明。括弧がたくさん抜けていて読みづらい。 $\exp -s X (t)$ は $\exp(-s X (t))$ と書くべきであろう。
• p16, line -3. singular value. 写像が全単射でなくなる $\lambda$ の値、 ということであろうが、ここでこの初出の単語を使用する必要はない。 $(1-e^{-\lambda})/\lambda=0$ となるような $\lambda$ の値のことである。
• p17, section 3.2 の証明の冒頭。$G \subset M$ である。(p12, p8 で婉曲にその設定がなされているがわかりづらい。）具体的には、証明の６行目で微分するときに初めてはっきりする。
• 同じく証明の6行目の M は $M$.
• p17, 同じく証明の8行め、$g$ は $\mathfrak{g}$.
• 同じ箇所、 $g: \mathfrak{g} \rightarrow M$, $h: \mathfrak{s} \rightarrow M$, $f: \mathfrak{g} \times \mathfrak{s} \rightarrow M$, この記号だけだと誤解が生じうるが、 ことばで補ってあるように、 定義域はそれぞれ線形空間全体ではなく、原点の近傍のみである。
• p17, line -8. itself. ニュアンスがわからない。
• p18 中程、$A(Z), A(X)$ わかりづらい書き方。 $A(Z)=A(X)(Z)=A(X)Z$ と書いている。 最初の等式は $A=A(X)$, 後ろの等式は $Z$ につけている括弧を外した記法。
• p18, line 9. $\det$. 線形空間 $\mathfrak{g}$の上の線形変換としての行列式か、 あるいは、$\mathfrak{g} \subset M=M(n,\mathbb{C})$ としての行列式かが明示的ではない。 ただし、これ以降の証明にはどちらでも通用する。
• p18, line -10, reduces は is reduced ではないかと思われるが、 もとのものでも間違っていないのかどうかは私にはわからない。

英語で書かれている数学の文書の読み方の練習

• p1, denoted by tr A : 前後のコンマの役割。次ページの i.e. も参照。
• with respect to 慣用句
• Indeed 証明
• p2, if 定義
• Alternatively, いいかえ
• if and only if 慣用句
• non-singular
• A series... A は行列ではなく不定冠詞。
• i.e.
• Section 1.2. formulae の後ろのコロンの役割。
• p4, unique, commuting
• p5, just by taking 主文のどこにかかっているか。
• p8. itself.
• p10. as well