ochiai/yukie1

雪江明彦「代数学1」日本評論社

• 講義をした上で気がついた点。
• なお、著者自身の正誤表のページあり。 そこに反映されているものは # と書きます。
• $(a^n)^{-1}= a^{-n}$ これだと定義そのものっぽい。いいたいことは $(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n$ か？
• # 例2.1.5. $A^\times = A \setminus \{0\}$ と定義しているわけではない。page 26 の中程の定義と、例2.2.4 に注意。例えば、$\mathbb{Z}\setminus \{0\}$ は $\mathbb{Z}^\times$ ではないのだが、ここで挙げられている３つの例からは、そのように誤解する可能性がある。
• # 例2.2.4. $M_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R})$ は「$n\geqq 2$ のときに」非可換。($GL_1(\mathbb{R})$ は可換。)
• # 命題2.3.2 の証明の前半。$y=x^{-1} \in H$ は $x^{-1}=y \in H$ と書きたい。
• 命題2.3.2 の証明の後半。「条件(2) より、$G$の群演算が $H \times H \rightarrow H$ という写像を定める」こと、に言及しておきたい。
• # 命題2.4.18. $d$ の登場するところで条件 $d>0$ は（位数と言った時点で）自動的に成り立っているので、書く必要はない。（改めて書かれると、真意を汲むのが難しい。）
• 命題2.4.18. 証明の１行目の$H$ の定義。$n$ はこの命題の主張の中で固定されているので、$H$ を定義するときの動く変数としては別の文字を使うべき。
• 命題2.4.18. (1) $\Rightarrow$ (2) の別証明。$H = \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m =1 \}$ とすると、$H$ は $\mathbb{Z}$ の部分群である。命題 2.4.17 より、整数 $f \geqq 0$ があり、$H=f\mathbb{Z}$ となる。$d \in H$ なので、「$d$ は $f$ の倍数である」。$d>0$ なので $f\neq 0$ すなわち $f>0$ である。位数の定義($d$ の最小性)より、「$d \leqq f$ である」。以上の２つの「」をあわせて、$f=d$ である。さて、仮定(1) より $n \in H$ なので、$n$ は $f$ の倍数である。これは(2) を意味する。証明終わり。 コメント： また、ここで与えた証明は本質的にこの本の証明と同じだが、この本の証明の「$n=0$ の場合のみなので」のところで $d$ についての仮定を使っていることを明示してみた。また、この本では $f=d$ で証明が終わっているが、最後の部分も明示的に書いた。
• # 例2.10.6. ２行目. $\rightarrow$ は $\mapsto$.
• p71. 問題2.5.2. 第２文「なお、、、」の内容は、問題文中ではなく、巻末の「演習問題の略解」で述べられる内容と思われる。p143の問題2.5.1 のヒント、と併置すると効果的。
• # p71. 問題 2.5.3(2) 条件を少し緩めて、$\phi$ は単射でよい。
• # p133. 解答 4.2.6. $\cdots$ の両側に２項演算子を配置して、 $\times \cdots \times$ のように書くとよい。２カ所。
• # p145. 解答 2.9.5. すべての部分群が正規部分群。たとえば、$\langle i \rangle$ は指数２。

「代数学２」

• p16, 命題 1.3.14 の証明の３行目。$k \rightarrow A$ という写像を $c_{i_1,\cdots, i_n}$に適用する必要あり。
• # p25, 定義 1.4.2 の直後。極大イデアルの定義は、後に p33 で登場する。
• # p58, 命題 1.11.12 の証明。帰納法はおそらく $n$ に関する帰納法。おそらく $m \ge n$ を仮定している。（そう仮定しなくても帰納法は進行できるが、その場合、証明の４行目の「元である」のところで、「元であり、特に $m\ge 1$ である」と書いておきたい。）また、帰納法の初期ステップ $n=1$ （あるいは、$n=0$）のときの記述が implicit である。
• # p63, l2. 「以下、この節の終わりまで、$A$ を一意分解環とする」とあるが、例1.11.41 では$A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ が一意分解環でないことを証明しているので、つごうが悪い。一番いいのは、p66, line 7 から新しい節にしてしまうことであるが、これは目次や演習問題の番号なども変更する必要があり、改訂版では対応しきれないであろう。実際は、「p66, line 6 までは、$A$ を一意分解環とする」とするのが現実的な対応。
• p63, 補題1.11.31の１行目。$f(x) \neq 0$ としておいた方がよい。
• # p77, 問題1.3.1(2). $+\cdots+$ のように前後に２項演算子を配置したい。
• # p79, 問題1.6.2. $\mathfrak{m}_2$ は極大イデアルではないので、$\mathfrak{m}$ という記号に違和感あり。
• # p81, 問題1.9.1. $\rightarrow$ は $\mapsto$. ３カ所。
• p147, 例2.13.12. 著者のwebにある訂正が分からず。引用すると『 p.147, 例2.13.12, 命題2.10.7 の無限直和の場合を使う(演習問題2.10.6). ほと んど命題2.10.7 と同じようにできるのだが，これを使わないと$\mathbb{R}[x, y] \otimes_{\mathbb{R}} {\mathbb{C}} \cong \mathbb{C}[x, y]$ が正確にはいえない. 』無限直和が不可欠だろうか？教科書の例2.10.5 の証明をまねてみよう。テンソル積の普遍性より、写像 $\phi:\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{R}[x,y] \rightarrow \mathbb{C}[x,y]$ が存在する。実際には、$\phi(a \otimes f) = af$ とすればよい$a \in \mathbb{C}, f \in \mathbb{R}[x,y]$)。また、写像 $\psi: \mathbb{C}[x,y] \rightarrow \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{R}[x,y]$ を次のように定義する：多項式 $f \in \mathbb{C}[x,y]$ を $f= \sum a_{ij} x^i y^j$ と書く(p9, $a_{ij} \in \mathbb{C}$)。$\psi(f) = \sum a_{ij} \otimes x^i y^j$ と定義する。このとき、$\psi\circ\phi=$id, $\phi\circ\psi=$id となる。したがって、目的の同型が証明できた。