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雪江明彦「代数学1」日本評論社
講義をした上で気がついた点。
なお、著者自身の
正誤表
のページあり。 そこに反映されているものは # と書きます。
これだと定義そのものっぽい。いいたいことは
(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n
か?
# 例2.1.5.
A^\times = A \setminus \{0\}
と定義しているわけではない。page 26 の中程の定義と、例2.2.4 に注意。例えば、
\mathbb{Z}\setminus \{0\}
は
\mathbb{Z}^\times
ではないのだが、ここで挙げられている3つの例からは、そのように誤解する可能性がある。
# 例2.2.4.
M_n(\mathbb{R})^\times = GL_n(\mathbb{R})
は「
n\geqq 2
のときに」非可換。(
GL_1(\mathbb{R})
は可換。)
# 命題2.3.2 の証明の前半。
y=x^{-1} \in H
は
x^{-1}=y \in H
と書きたい。
命題2.3.2 の証明の後半。「条件(2) より、
G
の群演算が
H \times H \rightarrow H
という写像を定める」こと、に言及しておきたい。
# 命題2.4.18.
d
の登場するところで条件
d>0
は(位数と言った時点で)自動的に成り立っているので、書く必要はない。(改めて書かれると、真意を汲むのが難しい。)
命題2.4.18. 証明の1行目の
H
の定義。
n
はこの命題の主張の中で固定されているので、
H
を定義するときの動く変数としては別の文字を使うべき。
命題2.4.18. (1)
\Rightarrow
(2) の別証明。
H = \{ m \in \mathbb{Z} \mid x^m =1 \}
とすると、
H
は
\mathbb{Z}
の部分群である。命題 2.4.17 より、整数
f \geqq 0
があり、
H=f\mathbb{Z}
となる。
d \in H
なので、「
d
は
f
の倍数である」。
d>0
なので
f\neq 0
すなわち
f>0
である。位数の定義(
d
の最小性)より、「
d \leqq f
である」。以上の2つの「」をあわせて、
f=d
である。さて、仮定(1) より
n \in H
なので、
n
は
f
の倍数である。これは(2) を意味する。証明終わり。 コメント: また、ここで与えた証明は本質的にこの本の証明と同じだが、この本の証明の「
n=0
の場合のみなので」のところで
d
についての仮定を使っていることを明示してみた。また、この本では
f=d
で証明が終わっているが、最後の部分も明示的に書いた。
# 例2.10.6. 2行目.
\rightarrow
は
\mapsto
.
p71. 問題2.5.2. 第2文「なお、、、」の内容は、問題文中ではなく、巻末の「演習問題の略解」で述べられる内容と思われる。p143の問題2.5.1 のヒント、と併置すると効果的。
# p71. 問題 2.5.3(2) 条件を少し緩めて、
\phi
は単射でよい。
# p133. 解答 4.2.6.
\cdots
の両側に2項演算子を配置して、
\times \cdots \times
のように書くとよい。2カ所。
# p145. 解答 2.9.5. すべての部分群が正規部分群。たとえば、
\langle i \rangle
は指数2。
「代数学2」
p16, 命題 1.3.14 の証明の3行目。
k \rightarrow A
という写像を
c_{i_1,\cdots, i_n}
に適用する必要あり。
# p25, 定義 1.4.2 の直後。極大イデアルの定義は、後に p33 で登場する。
# p58, 命題 1.11.12 の証明。帰納法はおそらく
n
に関する帰納法。おそらく
m \ge n
を仮定している。(そう仮定しなくても帰納法は進行できるが、その場合、証明の4行目の「元である」のところで、「元であり、特に
m\ge 1
である」と書いておきたい。)また、帰納法の初期ステップ
n=1
(あるいは、
n=0
)のときの記述が implicit である。
# p63, l2. 「以下、この節の終わりまで、
A
を一意分解環とする」とあるが、例1.11.41 では
A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]
が一意分解環でないことを証明しているので、つごうが悪い。一番いいのは、p66, line 7 から新しい節にしてしまうことであるが、これは目次や演習問題の番号なども変更する必要があり、改訂版では対応しきれないであろう。実際は、「p66, line 6 までは、
A
を一意分解環とする」とするのが現実的な対応。
p63, 補題1.11.31の1行目。
f(x) \neq 0
としておいた方がよい。
# p77, 問題1.3.1(2).
+\cdots+
のように前後に2項演算子を配置したい。
# p79, 問題1.6.2.
\mathfrak{m}_2
は極大イデアルではないので、
\mathfrak{m}
という記号に違和感あり。
# p81, 問題1.9.1.
\rightarrow
は
\mapsto
. 3カ所。