ochiai/answer3

原付免許筆記試験方式で学ぶ環論の解答です。

原付免許筆記試験では、Yes/No だけを書くのですが、Yes/Noだけを書いていくと、番号がずれたりして間違いが生じやすいので、文章で書きます。

• $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ の元 $(1,0)$, $(0,1)$ はかけると$(0,0)$ になるので、零因子である。 一方で、この環のべき零元は0 のみである。（整域の直和のべき零元は0のみ。）
• $a^2=a$ となる元 $a$ をべき等元という。英語は idempotent。
• $a^2=a$ ならば $a(a-1)=0$ なので、整域ならば $a=0$ または $a=1$ が従う。
• ある $n$ が存在して、$a^n=0$ となるときに$a$ をべき零元と呼ぶ。英語は nilpotent。
• ある $n$ が存在して、$a^n=1$ となるときに$a$ をべき単元と呼ぶ。英語は unipotent。 単元(unit) との言葉の重複は偶然の一致。
• $R=\mathbb{Z}[x]$, $I=(n,x) \subset R$ とする。$R/I = \mathbb{Z}/(n)$.
• $k=\mathbb{Z}/(2)$ の時、$M_2(k)$ の自明でない左イデアルは $\left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} \mid a,c \in k\right\}$, $\left\{ \begin{pmatrix} a & a \\ c & c \end{pmatrix} \mid a,c \in k \right\}$, $\left\{ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \mid b,d \in k \right\}$の３つ。
• $(x^3+5x)+(-x^3+2x^2)=2x^2+5x$.
• $4=0$ であれば、$2x \times 6x = 0$.
• $\mathbb{Z}[x]/(x^2+x+1,2)$ は元の個数が４の体。 $\mathbb{Z}/(4)$ は元の個数が４の環であるが、体ではない。 つまり、体になる例もならない例もある。
• 有限整域の零でない元$a$ に対して、$a$ 倍写像は単射なので全単射。したがって、$ab=1$となる $b$ が存在する。
• $x=t^3, y=t^2$ という代入写像の核は $(x^2-y^3)$ という単項イデアルで、素イデアル。$(x,y)$ というイデアルに含まれるので極大イデアルではない。像 $R:=\mathbb{C}[t^2,t^3]$ は $t$ が抜けている。$t$ は $R$ 上で整。
• $\mathbb{Z}[x]/(x^2+a,3) = (\mathbb{Z}/(3))[x]/(x^2+a)$. $a=1$の時は、$x^2+1$ が $\mathbb{Z}/(3)$ 上で既約なので、剰余環は体。 $a=2$の時は、$x^2+2=x^2-1=(x+1)(x-1)$.
• $2\times 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$.