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大学数学ことはじめ(松尾厚)の第III部(練習問題と研究課題)に掲載されている解答への補足

• 問題1.3(p208)。解説
  • (1)(十分条件であること)。$[-1,1]\subset [a,b]$ がわかったので、$f|_{[-1,1]}$ が全射であることを示せばOKである。$f|_{[-1,1]}: [-1,1]\to [-1,1]$ は全単射である。証明終わり。

• (1)(必要条件であること)。$f(x)=1$ となる $x$ は $x=1$ だけである。$f(x)=-1$ となる $x$ は $x=-1$ だけである。したがって、$1,-1$ が像に入っているためには、$1,-1 \in [a,b]$ である必要がある。したがって、$a \le 1 \le b$, $a \le -1 \le b$ でなければならない。この条件の一部を取り出して $a \le -1$ かつ $b \ge 1$。証明終わり。

• (2)(十分条件であること)。場合１。$b \le -1$ の時。この時、$[a,b] \subset [-2,-1]$ がわかったので、$f|_{[-2,-1]}$ が単射であることを示せば良い。$f|_{[-2,-1]}: [-2,-1] \to [0,-1]$ は全単射である。証明終わり。

• 場合２。$-1 \le a \le b \le 1$ の時。この時、$[a,b] \subset [-1,1]$ がわかったので、$f|_{[-1,1]}$ が単射であることを示せば良い。$f|_{[-1,1]}: [-1,1] \to [-1,1]$ は全単射である。証明終わり。

• 場合３。$a \ge 1$ の時。この時、$[a,b] \subset [1,2]$ がわかったので、$f|_{[1,2]}$ が単射であることを示せば良い。$f|_{[1,2]}: [1,2] \to [0,1]$ は全単射である。証明終わり。

• (2)(必要条件であること)。場合１。$a\lt -1 \lt b$ の時。 この時 $-1 \le a+1 \lt 0 \lt b+1$ なので、$\delta$ を定義するときに現れる $|a+1|$ は$1$ 以下である。したがって、 $\delta=\min\{ -(a+1), b+1 \}$ と書いて良い。もちろん、この書き方だと $\delta \le 1$ であることや $\delta\gt 0$ であることが見辛いので、教科書のように記述するのも悪くはない。

• 研究1-2.
  • 方針1。ここまで詳しく場合分けをして、しかも(2)(iii) で省略までするのであれば、普通に８つに場合分けして、
    • 場合１。 $x \in A \cap B \cap C$ の時。計算すると、、、、$x$ は左辺にも右辺にも入る。
    • 場合２。$x \in A \cap B \cap C^c$ の時。計算すると、、、$x$ は左辺にも右辺にも入らない。
    • 場合８。$x \in A^c \cap B^c \cap C^c$ の時。計算すると、、、$x$ は左辺にも右辺にも入らない。

としてしまったらどうだろうか。

• 方針２。$\mathbf 1+\mathbf 1=\mathbf 0$を導入しているが、大げさな感じもする。関数を使いたいのであれば、加法的に書くのではなく乗法的に書いたらどうだろうか。 シンプルに $\varphi_S(x) = 1 \quad x \in S$のとき、$\varphi(x) = -1 \quad x \notin S$ の時、と定める。この時、$\varphi_{A \triangle B} = \varphi_A \varphi_B$ となる。これを使うと、証明できる。

• 問題2.1(p211)。