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原付免許筆記試験方式で学ぶ群論

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真偽を判定せよ。

群の位数１の元は単位元に限る。答え
$S_4$ は可換群である。答え
巡回群は可換群である。答え
群の一つの元から生成される部分群は必ず可換群である。答え
3次正方行列のなす環 $M_3(\mathbb{R})$ では、 $A+B=B+A$ が成り立つので、 $M_3(\mathbb{R})$ は可換環である。答え
$\mathbb{Z}$ の単元全体は有限群である。答え
$\mathbb{Z}$ は無限群である。答え
偶数の全体は $\mathbb{Z}$ の部分群である。答え
素数でない整数の全体は $\mathbb{Z}$ の部分群である。答え
$S_3$ の「位数２の元の全体と単位元」は部分群である。答え
$\mathbb{Z}$ の自明でない部分群はすべて無限群である。答え
無限巡回群は $\mathbb{Z}$ と「同型」である。答え
$G$ が無限群のときは、部分群 $H$ の指数 $(G:H)$ は必ず無限大になる。答え
可換群 $G$ の部分群 $H$ による左剰余類 $gH$ と右剰余類 $Hg$ は同じ集合である。答え
有限群 $G$ の部分群 $H$ による左剰余類 $gH$ と右剰余類 $Hg$ は元の個数は等しいが集合としては同じであるとは限らない。答え