ochiai/sl2

SL(2,R)の表現論、朝倉書店

訂正

• p3, １３行目。$Z_{M_2}= \{ Y \in Z_{M_2}$ を $Z_{M_2}(S)=\{ Y \in M_2$ に訂正。[読者からの指摘]

• p14, 下から１行目。「正定値、負定値」を「定値、不定値」に訂正。

• p47, 寄り道3.1.5の１行目。$K$は$\Lambda$に訂正。[読者からの指摘]

• p47, 定義3.1.9. 認容を容認に修正。[読者からの指摘]

• p47, 補題3.1.10 (1)の証明。p48 の２行目３行目４行目の $n$は不要で、$n=1$ としたもののみを用いて証明する。５行目の六箇所の$\overline{V}$ は全て $V$に変更する。[読者からの指摘]

• p48, 命題3.1.11 の６行目の右辺の $\lambda$ を $\lambda_0$ に訂正。[読者からの指摘]

• p48, 式(3.5)と(3.6) の成立範囲から $k=0$ を除外する。すなわち、式(3.5) は負の整数 $k$ に対して成立する。式(3.6) は正の整数 $k$ に対して成立する。[読者からの指摘]

• p49, 定義3.1.13の２行目。 $Z(\frak{sl}_{2})$は$Z(U(\frak{sl}_{2}))$に訂正。 間違えてしまった事情を書くと、ある分野では、例えば「松本久義 Enveloping algebra 入門 p17, p22」などでは $Z(U(\mathfrak{g}))$ を $Z(\mathfrak{g})$ と略記してしまう。ただし、私の本のような設定・状況では、そのような略記号を使うべきではない。 [読者からの指摘]

• p49, 定義3.1.13。第２文を以下のように加筆する：なお $Z(U(\mathfrak{g}))$ の各元がスカラーで作用する表現を「無限小指標を持つ」と言う。この言葉遣いを用いるとき、$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2$ の場合には...(以下は本文)。[読者からの指摘への回答]

• p49, 補題3.1.14 の証明の冒頭。$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2$ とおく。[読者からの指摘]

• p59, 補題3.2.13 の２行上。$\nu-$ は $\nu^-$、つまり、上付き添字に訂正。[読者からの指摘]

• p63, 補題3.3.2 の４行目を削除。そもそも $j=-1,-2,\ldots$ に対する $v_{\lambda_0+j}$ を定義していないので。[読者からの指摘]

• p63, 補題3.3.2 の証明の下から６行目４行目３行目の $\lambda$ を $\lambda_0$ に訂正。[読者からの指摘]

• p64, 命題3.3.5 とその直前の $(\lambda,\mu)$ を $(\mu,\lambda)$ に訂正。合計六箇所。[読者からの指摘]

• p134, 2行目で引用すべき本は[23]ではなくて、 同じ著者の代数学I に訂正。[読者からの指摘]

• p122, 下から２行目。$X^D$ は $X^0$.

• p142, 式(A2.5) の２行とも、右辺の積分区間の上端は $s$ でなくて $x$.[読者からの指摘]

• p143, 式(A2.7) の右辺。$f(x)$ を $f(t)$ に訂正。[読者からの指摘]

• p152, ２行目。右側の式の左辺 $[a,\lambda]=\lambda [a,b]$は$[a,\lambda b]=\lambda [a,b]$に訂正。[読者からの指摘]

• p154, A3.6.5の証明。ここでの説明は感覚的なものにとどまっている(後でゆっくり考えるが。)。例えば、$e^+ f(C,h)=f(C,h)e^+=e^+ f(C,h+2)$から$f(C,h)=f(C,h+2)$ と帰結している流れだが、その議論だと、普遍包絡環は零因子がないことを断らずに密輸している。 [読者からの指摘への返答]

• p155, 参考文献[14]の「礼二」を「礼司」に訂正。[読者からの指摘]

補足

• p5の４行目。一般に、群$G$の中の部分集合 $X$ と元 $g$ に対して、$gX=\{ gx | x \in X\}$ と定める(なお、このような「集合と元の積」の記号の定義を本では書き忘れました、ごめんなさい)。すなわち、ここの $wNw^{-1}$は $=\{ w n w^{-1} \mid n \in N\}$ という「集合」である。補題1.2.7 の記号を先取りすると、$N=\{ n_x | x \in \mathbb{R} \}$ であり、元の積として $w n_x w^{-1} = \overline{n}_{-x}$ と計算できるので、集合 $w N w^{-1} = \{ \overline{n}_{-x} | x \in \mathbb{R} \} = \{ \overline{n}_{x} | x \in \mathbb{R} \} = \overline{N}$ が示せる。[読者からの質問への回答]

• p23, 例1.4.4 の $A$ のリー環。２重数を使ったリー環の定義は代数群の場合にしか適用できないので、p2で定義したリー群 $A$に現れる「条件 $a\gt 0$」という不等式をうまく解釈できない(つまりここでの説明に不備がある)。ここでは、反則だが、$\varepsilon$ は十分に絶対値が小さい実数だとみなすと $1+\varepsilon\gt 0$ である、という、実数の位相における連続性に相当する「解釈」をすることで、リー環の計算に条件 $a\gt 0$ が現れないと解釈することにしよう。苦し紛れ。 [読者からの指摘への回答]

• p34, 2.1 節の最後の文「リー環の定義はA3.5.1で与えた.」。この文の背景として、ここまでの2.1節で登場したリー環は、正方行列の全体のような結合代数やその部分線型空間として実現されるものだけしか扱っていない、という「後ろめたさ」がある。必ずしも述べなくても良いような気もしてきたが、その後ろめたさの解消として、必ずしも結合代数から始まらないような「一般の」リー環の定義を付録のA3.5節で与えた、という含意をこのように短く書いてしまったので伝わりづらいと思う。[読者からの指摘への回答]

• p46 一般固有ベクトルを「一般固有値$\lambda$の一般固有ベクトル」ではなく、「固有値$\lambda$の一般固有ベクトル」と呼ぶ理由は、補題3.1.3 に述べた。すなわち、一般固有ベクトルが存在する$\lambda$ は必ず固有値にもなっている。[読者からの質問への回答]

• p47, 定義3.1.6 の後半。「すべての $\lambda$に対して、$\dim V_\lambda$ が有限」と加筆した方が親切でした。[読者からの示唆]

• p48, 命題3.1.11 の証明の最後。$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \mathbb{C} v_{\lambda_0+2k}$ がウエイト加群であることの証明には、カシミール元がスカラー$\mu$ で作用することは使わなくて良い。したがって、この命題を「さらに」の前半と後半で分けて、それぞれの主張を分けて書いた方が、どの性質がどこから従うかの責任の所在がはっきりする。[読者からの質問への回答]

• p49, 補題3.1.14の証明の最後の段落の２行目。「全射である」ことを言い換えると、$V=U(\mathfrak{sl}_2) v$ が成り立つ。このような $v$ のことを $V$ の cyclic vector と呼ぶことがある。一般に、既約表現の零でないすべての元は cyclic vector である。

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