ochiai/LA2021
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教科書「線形代数講義」（南和彦）へのコメント
- 1. 行列
- 1.1. 行列の定義、和と定数倍
- 1.1.1. 行列を定義する p1
- 1.1.2. 行列の和とスカラー倍 p4
-- 等しい、和、スカラー倍の３つ。差に関する注意。
- 1.1.3. 特別な行列 p5
-- トレース、単位行列、上三角行列、下三角行列、対角行列、...
-- p6 クロネッカーのデルタ。２入力１出力。
- 練習問題 1.1. p9
- 1.2. 行列の積
- 1.2.1. 行列の積 p9
-- 一次変換、確率行列、可換、零因子、積の満たす性質
--- 定理1.1(p14) の「自明」の証明。定理1.2(p16)の「自明」...
- 1.2.2. 特別な行列2 p15
-- 転置行列、対称行列、交代行列
-- 次の1.2.3節の中で扱われている例題1.4から例題1.6 と例題...
--- 例題1.4(p18). 結果の解釈。結論の式 $x-y+2=0$ が成り立...
--- 例題1.5(p19). 結果の解釈。得られた行列は、順に $B,4E-...
--- 例題1.9(p21) p12 と p21で行と列の役割が逆になっている...
- 1.2.3. 行列の分割 p17
-- 例題1.7(p20) は分割と関係している。
- 練習問題 1.2-1.20 p22-24
--- 問題 1.4. 可換な場合(1)(2)(3)(6)の結果の解釈。(2) $A=...
--- 問題 1.5(p22) 追加説明をする予定。
--- 問題 1.6(p23) どこまで計算したら結果なのかが判断しづ...
--- 問題 1.7. (1) 可換である時の結果の解釈。$B=cA+(c+d)E$.
--- 問題 1.8. (2)を先に、(1) を後にするのが良さそう。
--- 問題 1.13. $l$ 乗も求まる。(右下の行列のサイズと冪が...
--- 問題 1.16(p24)(2) 特別な $A$ に対しては、$A^n$ が交代...
\begin{array}{l} \hskip1cm 0 \hskip1cm 2 \hskip1cm i (s+t...
- 1.3 行列の正則性と逆行列
- 1.3.1. 行列の逆行列 p25
- 練習問題 1.21-1.24 p29
- 2. 基本変形
- 2.1. 行列の基本変形
- 2.1.1. 連立方程式と基本変形 p30
- 2.1.2. 基本行列（基本変形を生成する) p32
--- この教科書の p32 の $E_n(i;k), E_n(i,j;k), E_n(i,j)$ ...
- 2.1.3. 同値関係 p34
- 2.1.4. 逆行列であるための条件 p35
--- 定理2.4の証明(p35-37)が、この本で最初の本格的な証明で...
- 練習問題 2.1-2.3 p38
- 2.2. 行列の階数
- 2.2.1. 階数を定義する p38
--- 定理2.5の証明。(1) は存在、(2) は一意性を証明している...
--- 定理2.5の証明(1)(p40)は、自分で補うことが求められてい...
--- 定理2.5の証明(2)(p40-41)は、このまま読んでいけば良い...
- 2.2.2. 階数、基本変形と逆行列 p42
- 練習問題 2.4-2.8 p45
--- 問題2.5. より一般に $m\times n$ 行列で、正しい。実際...
--- 問題2.7. 「補題。正方行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x} ...
$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmat...
--- 問題2.8(2) 「補題。小行列の階数は元の行列の階数以下...
- 2.3. 連立一次方程式
- 2.3.1. 連立一次方程式 p46
-- p48-49 で$r$ 行より下に$0$ でない成分 $\beta_{r+1},\ld...
{r+2}=\beta_{r+3}=\cdots=\beta_n=0$ のようにするのが普通...
- 2.3.2. 斉次(同次)方程式 p49
- 練習問題 2.9-2.13 p55
- コラム LU 分解 p56
- 3. 行列式
- 3.1. 行列式
- 3.1.1. 置換とその符号 p57
- 3.1.2. いくつかの例 p62
- 3.1.3. ２次の行列式 p63
- 3.1.4. ３次の行列式 p64
- 3.1.5. $n$次の行列式 p65
- コラム 行列式と関孝和 p67
- 練習問題 3.1-3.2 p68
--- 3.1 節の問題ではあるが、後で学習する3.2-3.4 節の計算...
- 3.2 行列式の性質 その１
- 3.2.1. 転置行列の行列式、交代性、基本的な性質 p68
- コラム 行列式の公理的な定義 p72
- 3.3. 行列式の性質 その2
- 3.3.1. 積の行列式、行列式の展開 p73
--- 例題3.3(p77) 結果の解釈。(1) $x=1$ の時、第１列と第２...
- 練習問題 3.3-3.7 p79
--- 問題3.3(3) 第４行に第１行を足してみると。。。
--- 問題3.4(3) では問題3.6 を使うこともできる。
--- 問題3.5(2). 実数を成分とする行列を考えている。複素数...
- 余因子展開 p79
- 3.4.1. 符号に関する準備 p80
- 3.4.2. 行列式の展開公式 p81
- 練習問題 3.8-3.11 p87-88
- 3.5. 逆行列、Cramer の公式、特殊な行列式
- 3.5.1. 逆行列 p88
- 3.5.2. 連立１次方程式の解の公式 p91
- 3.5.3. 小行列式 p92
- 3.5.4. いろいろな行列式 p93
--- p95 の中程の式。$A=\begin{pmatrix} a_1 \hskip5mm a_2 ...
$\Lambda= \begin{pmatrix} a_1+\omega_1 a_2+\omega_1^2 a_3...
- 練習問題 3.12-3.17 p97-98
--- 問題3.12. $A$ が正則行列の時の証明がポイント。$A$ が...
- 4. $n$ 次元空間のベクトル
- 4.1. 空間ベクトルの性質、線型独立と線形従属
- 4.1.1. 空間ベクトルの性質 p99
- 4.1.2. 空間ベクトルの線型独立と線形従属 p100
- 4.1.3. 線型独立性と行列の階数 p103
- 4.1.4. 線形独立性と連立一次方程式 p104
- 練習問題 4.1-4.2 p105
- 4.2. 空間ベクトルの内積と外積
- 4.2.1. 内積 p105
- 4.2.2. 外積 p108
- 4.2.3. 空間図形の方程式 p112
- 練習問題 4.3-4.6 p114
- 5. 線型空間
- 5.1. 線型空間
- 5.1.1. 線型空間の公理系 p115
- 練習問題 5.1-5.8 p123-124
--- 後の 5.3 節の定義5.9(p142)に登場する「部分空間」の概...
- 5.2. 基底と次元
- 5.2.1. 線形独立と線形従属 p124
- 5.2.2. 線型空間の基底 p129
- 5.2.3. 基底の存在と次元の一意性 p133
- 練習問題 5.9-5.13 p136
- コラム 線形と線型 p137
- 5.3. 部分空間
- 5.3.1. 部分空間の定義と例 p137
- 5.3.2. 部分空間であるための条件 p141
- 練習問題 5.14-5.20 p145-146
- 5.4. 和空間、直和、直積
- 5.4.1. 和空間と直和 p145
- 5.4.2. 線形空間の直積 p152
- 練習問題 5.21-5.27 p156-157
- コラム 直積と量子力学、量子情報 p158
- 6. 線形写像
- 6.1. 線形写像
- 6.1.1. 写像 p159
ノートを取る技術。板書されていないことのノートの取り方。...
レポートの書き方、報告書の書き方、証明の書き方。読み手が...
用語の定義、概念の把握、概念の創造。「明らか」の証明を書...
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教科書「線形代数講義」（南和彦）へのコメント
- 1. 行列
- 1.1. 行列の定義、和と定数倍
- 1.1.1. 行列を定義する p1
- 1.1.2. 行列の和とスカラー倍 p4
-- 等しい、和、スカラー倍の３つ。差に関する注意。
- 1.1.3. 特別な行列 p5
-- トレース、単位行列、上三角行列、下三角行列、対角行列、...
-- p6 クロネッカーのデルタ。２入力１出力。
- 練習問題 1.1. p9
- 1.2. 行列の積
- 1.2.1. 行列の積 p9
-- 一次変換、確率行列、可換、零因子、積の満たす性質
--- 定理1.1(p14) の「自明」の証明。定理1.2(p16)の「自明」...
- 1.2.2. 特別な行列2 p15
-- 転置行列、対称行列、交代行列
-- 次の1.2.3節の中で扱われている例題1.4から例題1.6 と例題...
--- 例題1.4(p18). 結果の解釈。結論の式 $x-y+2=0$ が成り立...
--- 例題1.5(p19). 結果の解釈。得られた行列は、順に $B,4E-...
--- 例題1.9(p21) p12 と p21で行と列の役割が逆になっている...
- 1.2.3. 行列の分割 p17
-- 例題1.7(p20) は分割と関係している。
- 練習問題 1.2-1.20 p22-24
--- 問題 1.4. 可換な場合(1)(2)(3)(6)の結果の解釈。(2) $A=...
--- 問題 1.5(p22) 追加説明をする予定。
--- 問題 1.6(p23) どこまで計算したら結果なのかが判断しづ...
--- 問題 1.7. (1) 可換である時の結果の解釈。$B=cA+(c+d)E$.
--- 問題 1.8. (2)を先に、(1) を後にするのが良さそう。
--- 問題 1.13. $l$ 乗も求まる。(右下の行列のサイズと冪が...
--- 問題 1.16(p24)(2) 特別な $A$ に対しては、$A^n$ が交代...
\begin{array}{l} \hskip1cm 0 \hskip1cm 2 \hskip1cm i (s+t...
- 1.3 行列の正則性と逆行列
- 1.3.1. 行列の逆行列 p25
- 練習問題 1.21-1.24 p29
- 2. 基本変形
- 2.1. 行列の基本変形
- 2.1.1. 連立方程式と基本変形 p30
- 2.1.2. 基本行列（基本変形を生成する) p32
--- この教科書の p32 の $E_n(i;k), E_n(i,j;k), E_n(i,j)$ ...
- 2.1.3. 同値関係 p34
- 2.1.4. 逆行列であるための条件 p35
--- 定理2.4の証明(p35-37)が、この本で最初の本格的な証明で...
- 練習問題 2.1-2.3 p38
- 2.2. 行列の階数
- 2.2.1. 階数を定義する p38
--- 定理2.5の証明。(1) は存在、(2) は一意性を証明している...
--- 定理2.5の証明(1)(p40)は、自分で補うことが求められてい...
--- 定理2.5の証明(2)(p40-41)は、このまま読んでいけば良い...
- 2.2.2. 階数、基本変形と逆行列 p42
- 練習問題 2.4-2.8 p45
--- 問題2.5. より一般に $m\times n$ 行列で、正しい。実際...
--- 問題2.7. 「補題。正方行列 $A$ とベクトル $\mathbf{x} ...
$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmat...
--- 問題2.8(2) 「補題。小行列の階数は元の行列の階数以下...
- 2.3. 連立一次方程式
- 2.3.1. 連立一次方程式 p46
-- p48-49 で$r$ 行より下に$0$ でない成分 $\beta_{r+1},\ld...
{r+2}=\beta_{r+3}=\cdots=\beta_n=0$ のようにするのが普通...
- 2.3.2. 斉次(同次)方程式 p49
- 練習問題 2.9-2.13 p55
- コラム LU 分解 p56
- 3. 行列式
- 3.1. 行列式
- 3.1.1. 置換とその符号 p57
- 3.1.2. いくつかの例 p62
- 3.1.3. ２次の行列式 p63
- 3.1.4. ３次の行列式 p64
- 3.1.5. $n$次の行列式 p65
- コラム 行列式と関孝和 p67
- 練習問題 3.1-3.2 p68
--- 3.1 節の問題ではあるが、後で学習する3.2-3.4 節の計算...
- 3.2 行列式の性質 その１
- 3.2.1. 転置行列の行列式、交代性、基本的な性質 p68
- コラム 行列式の公理的な定義 p72
- 3.3. 行列式の性質 その2
- 3.3.1. 積の行列式、行列式の展開 p73
--- 例題3.3(p77) 結果の解釈。(1) $x=1$ の時、第１列と第２...
- 練習問題 3.3-3.7 p79
--- 問題3.3(3) 第４行に第１行を足してみると。。。
--- 問題3.4(3) では問題3.6 を使うこともできる。
--- 問題3.5(2). 実数を成分とする行列を考えている。複素数...
- 余因子展開 p79
- 3.4.1. 符号に関する準備 p80
- 3.4.2. 行列式の展開公式 p81
- 練習問題 3.8-3.11 p87-88
- 3.5. 逆行列、Cramer の公式、特殊な行列式
- 3.5.1. 逆行列 p88
- 3.5.2. 連立１次方程式の解の公式 p91
- 3.5.3. 小行列式 p92
- 3.5.4. いろいろな行列式 p93
--- p95 の中程の式。$A=\begin{pmatrix} a_1 \hskip5mm a_2 ...
$\Lambda= \begin{pmatrix} a_1+\omega_1 a_2+\omega_1^2 a_3...
- 練習問題 3.12-3.17 p97-98
--- 問題3.12. $A$ が正則行列の時の証明がポイント。$A$ が...
- 4. $n$ 次元空間のベクトル
- 4.1. 空間ベクトルの性質、線型独立と線形従属
- 4.1.1. 空間ベクトルの性質 p99
- 4.1.2. 空間ベクトルの線型独立と線形従属 p100
- 4.1.3. 線型独立性と行列の階数 p103
- 4.1.4. 線形独立性と連立一次方程式 p104
- 練習問題 4.1-4.2 p105
- 4.2. 空間ベクトルの内積と外積
- 4.2.1. 内積 p105
- 4.2.2. 外積 p108
- 4.2.3. 空間図形の方程式 p112
- 練習問題 4.3-4.6 p114
- 5. 線型空間
- 5.1. 線型空間
- 5.1.1. 線型空間の公理系 p115
- 練習問題 5.1-5.8 p123-124
--- 後の 5.3 節の定義5.9(p142)に登場する「部分空間」の概...
- 5.2. 基底と次元
- 5.2.1. 線形独立と線形従属 p124
- 5.2.2. 線型空間の基底 p129
- 5.2.3. 基底の存在と次元の一意性 p133
- 練習問題 5.9-5.13 p136
- コラム 線形と線型 p137
- 5.3. 部分空間
- 5.3.1. 部分空間の定義と例 p137
- 5.3.2. 部分空間であるための条件 p141
- 練習問題 5.14-5.20 p145-146
- 5.4. 和空間、直和、直積
- 5.4.1. 和空間と直和 p145
- 5.4.2. 線形空間の直積 p152
- 練習問題 5.21-5.27 p156-157
- コラム 直積と量子力学、量子情報 p158
- 6. 線形写像
- 6.1. 線形写像
- 6.1.1. 写像 p159
ノートを取る技術。板書されていないことのノートの取り方。...
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