ochiai/nomura
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開始行:
野村隆昭：微分積分学講義（共立出版）
- 講義準備をした上での注意点。ならびに、講義を１年間終え...
- コメントの分量が多くなって来たのでいくつかのパートに分...
- また、著者のページに掲載済みになったものは * をつけて、...
- [[著者自身によるページ>http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/...
別証明
- page 28, line 3 から line 7 までの証明の別証。「まるい...
従って、$0\lt \alpha-a_n \lt \frac1{2^{n-1}} (\alpha - a_...
- page 36, 定理4.9(2) の証明。$\delta$ を抽象的に選んでい...
- page 35, 定理 4.8 の証明。２変数の関数とその連続性が必...
- page 152, 命題6.73 の証明の(い)。
Bolzano-Weierstrass が使われているが、ここは(あ)と類似の...
$c \in (a-\delta,a+\delta)$ を固定する。
(あ)の構成法より$y_1 \lt \varphi(c) \lt y_2$ である。
任意の $0\lt \varepsilon \le \min( y_2 - \varphi(c), \var...
$y'_1 := \varphi(c) - \varepsilon$, $y'_2 := \varphi(c) +...
$f(c,y'_1)\lt 0$, $f(c,y'_2)\gt 0$ なので (あ)と同じ議論...
ある $\delta' \gt 0$ が存在して、
$[c-\delta', c+\delta']$ では $f(x,y'_1)\lt 0$ かつ $f(x,...
必要なら $\delta'$ は小さく取り替えることにして、
$[c-\delta', c+\delta'] \subset [a-\delta,a+\delta]$ とし...
単調増加性より $y'_1 \lt \varphi(x) \lt y'_2$ が $[c-\del...
成立している。
すなわち、$|x-c| \le \delta'$ ならば $| \varphi(x) - \var...
つまり $\varphi$ は $x=c$ で連続性の定義を満たしている。
説明の追加や文意の補足
- page 17, 問題2.19. 問題の置かれている位置から、直前の注...
- page 101, line -2. 例5.65. なお、２つのパラメータ表示が...
- page 113, 解説。「対称性を考慮して」とあるが、ここに書...
用語など
- page 2, line 9-10. 「空集合は任意の集合の部分集合となる...
- page 8. この本では、単射であれば（全射でなくても）逆写...
- page 135 の定理6.35 ではm変数からn変数への写像を考えて...
- page 137 (2) で $\theta_{xx} + \theta_{yy} =0$ を計算で...
- page 160, 注意6.91. 「漸近線」の定義がない？索引にも「...
- page 164, line 3. 「持ち得る最大の階数」。上の行を引き...
- page 165 の5行目からこの節の終わりまでの部分は、条件付...
教科書とは異なる計算方法
- page 25, 定理3.4 の証明の後半の段落。背理法が使われてい...
- page 160, 問題6.92(3). 解答では有界性を論じているが、そ...
- page 173, 例題6.130(2) の解答。ここで指定されている解法...
最小値のときは、$(X,Y,Z)=(1,1,1)$, $s=2$, $t=0$, $u=0$, $...
最大値のときは、$(X,Y,Z)=(\sqrt{5}+1, \sqrt{5}+1, (3-\sqr...
なお、この解法では微積を使っていない。
- page 187, 例題7.24(2)の解。(1) と同様に中の積分で、$x=y...
これは不定積分できて, $\displaystyle=\left[ \sqrt{3} \mbo...
- page 192, 例題7.35. 変数変換しない方が自然な解法かもし...
$\displaystyle I = \int_1^3 \int_0^1 \frac{dy}{1+xy^2} \f...
= \int_1^3 \left[ \frac{1}{\sqrt{x}} \mbox{Arctan} \sqrt{...
= \int_1^3 \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}} \mbox{Arctan} \sqrt{x}...
あとは、この１変数関数の積分であるが、教科書と同じように...
= \left[ (\mbox{Arctan} u)^2 \right]_1^{\sqrt{3}}$ と計算...
最後のところで、教科書と同じように $u=\tan\theta$ と置換...
- page 195, 例題7.43. 変数変換 $u=x+y+z$ をすると、$D' = ...
$I= \displaystyle \int_0^1 \left( \iint_{\{ (x,y) \mid x ...
- page 197, 例題7.46. 計算方法ではなく、答えの数字の意味...
- page 197, 問題7.47. 教科書のp242の解答では、例題7.46と...
$\displaystyle \iint_{E} \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} z \,dz...
$\displaystyle \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \frac12(1-x...
= \int_0^1 \left[ \frac14 x(1-x^2) y^2 - \frac18 x y^4 \...
= \int_0^1 \frac18 x(1-x^2)^2 dx
= \left[ -\frac1{48} (1-x^2)^3 \right]_0^1
= \frac1{48}$.
- page 197, 例題7.49.
教科書では１つ次元の下がった球と対応づけていて、問題5.109...
$D=\{(x_{1}, x_{2}) \mid x_{1}^2+x_{2}^2 \le 1\}$ とする。
$(x_1,x_2) \in D$ に対して、
$(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n) \in B_n(1)$ となる条件は、
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2 \le1$ なので、
$x_3^2+\cdots+x_n^2 \le1-x_1^2-x_2^2$と書き換えれば、
$(x_3,\ldots,x_n) \in B_{n-2}(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2})$ とな...
すなわち、
$\displaystyle V_{n}(1) = \iint_{D} V_{n-2} (\sqrt{1-x_1^...
$V_{n-2}(r) = r^{n-2} V_{n-2}(1)$ なので、
$\displaystyle V_{n}(1) = V_{n-2}(1) \iint_{D} (1-x_{n+1...
となる。積分を極座標に変換すると、
$= V_{n-2}(1) \displaystyle\int_0^1 (1-r^2)^{(n-2) /2} r\...
= V_{n-2}(1) \pi \left[ -\frac{1}{n/2} (1-r^2)^{n/2} \rig...
= V_{n-2}(1) \frac{2\pi}{n}$.
つまり、漸化式 $V_n(1) = \dfrac{2\pi}{n} V_{n-2}(1)$ が得...
この漸化式は簡単に解くことができて、$n$が偶数のときは、
$V_n(1) = V_2(1) \dfrac{(2\pi)^{n/2-1}}{n!!/2}=\dfrac{(2\...
$n$ が奇数のときは、
$V_n(1) = V_1(1) \dfrac{(2\pi)^{(n-1)/2}}{n!!} = \dfrac{2...
- page 204, 例7.64. ２変数関数の不確定点との関係。
$g(x,y)=\dfrac{x-y}{2(x+y)}$ とすると、
$\dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \dfrac{x-y...
である。
目的の積分は
$\displaystyle \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{\partial^2 ...
= \int_0^1 [ \frac{\partial g}{\partial y} ]_{x=0}^{x=1} dy
= \int_0^1 \left( \frac{\partial g}{\partial y}(1,y) - \f...
= [ g(1,y) - g(0,y) ]_{y=0}^{y=1}
= g(1,1) - g(0,1) - g(1,0) + \lim_{y\to0} g(0,y)$.
もう一方の積分は、
$\displaystyle \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{\partial^2 ...
= g(1,1) - g(0,1) - g(1,0) + \lim_{x\to0} g(x,0)$.
ここで、$g(1,1)=0, g(0,1)=-\frac12, g(1,0)=\frac12$ なの...
$g(1,1) - g(0,1) - g(1,0)=0$ である。
まとめると $\displaystyle \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{...
$\displaystyle \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{\partial^2 ...
なお、原点へ近づく方向によって $g(x,y)$ の極限値が異なる...
例題6.5(2) や問題6.6(2)と同じ現象である。
２変数関数の原点での不連続性と広義積分が発散することとが...
- page 204, 問題7.65(2) の別解。原点での発散の具合を見る...
$E = \{ (x,y) \mid x \ge 0, y\ge 0, x^2+y^2\le 1, (x,y) ...
($D \supset E$ であり、差集合 $D \setminus E$ 上で 被積分...
$E$ を極座標で表すと $E'=\{ (r,\theta) \mid 0 \lt r \le 1...
$\displaystyle \iint_{E'} \frac{|x-y|}{(x+y)^3} dx\, dy =...
ここで、$r$ に関する積分は $\displaystyle\int_0^1 \frac{d...
- page 204, 問題7.65(2), 別解。
解答の$D_1$ 上の積分を考える。
$x$ を止めて、$y$ を $u=x+y$ に変数変換する。
領域は $2 \gt 2x \gt u \gt x \gt 0$ と書けるので
$2 \gt u \gt x \gt u/2 \gt 0$ となる。
被積分関数は $\frac{x-(u-x)}{u^3} = \frac{2x-u}{u^3}$ で...
したがって、
$I=\displaystyle \iint_D \frac{x-y}{(x+y)^3} dx dy
= \int_0^2 \left( \int_{u/2}^u (2x-u) dx \right) \frac{du...
内側の積分は、
$\displaystyle\int_{u/2}^u (2x-u) dx
= \left[ x^2-ux \right]_{u/2}^u
= u^2/4$.
よって、$I=\displaystyle\int_0^2 \frac{du}{4u}=+\infty$.
- page 204, 問題7.65(2). 対称性を利用した、計算しない証明...
変数 $(x,y)$ を $(2x,2y)$ に変換しても、
$f \, dx\, dy$ は変わらないが、領域が大きくなる。
被積分関数は非負なので、それが生ずるのは値が$+\infty$ の...
- page 206, 問題7.69. 対称性を利用した値の計算。
目的の重積分が収束することが既に示されていると仮定して、...
被積分関数を $f=-1+\dfrac{-x^2+y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{2xy}{...
重積分 $J_1=\displaystyle\iint_{D'} \frac{-x^2+y^2}{x^2+y...
- page 206, 例7.70. 別解。
$I_1(\varepsilon)$ の積分で、
$y$ を $u=x-y$ に変換すると、
$\displaystyle \int_0^{x-\varepsilon} \frac{dy}{(x-y)^\al...
= \int_\varepsilon^x \frac{du}{u^\alpha}$ となる。
ここで積分順序を変更すると、
$I_1(\varepsilon) = \displaystyle \int_\varepsilon^1
\left( \int_u^1 dx \right)
\frac{du}{u^\alpha}
= \int_\varepsilon^1 \frac{1-u}{u^\alpha} du$.
従って、１変数の広義積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1-u...
が収束することと必要十分である。定理5.90 が適用できる。
あるいは、不定積分できるので、値を求めて収束発散を論じて...
無理にベータ積分で書けば $B(1-\alpha, 2)$ ともなる。
- page 210, 問題2.7. もし例題2.6 を使っていいとしたら、$\...
ここで、$\displaystyle\left\vert T_n \right\vert \le \fra...
\le \frac{n\left\vert b_1 \right\vert +n \left\vert b_2 \...
例題2.6 より、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left\...
ところで、
$S_n = T_n +\displaystyle\frac{n+(n-1)+\cdots+2+1}{n^2}\a...
- page 212, 問題 4.16. 本の解答では、$0 \lt \dfrac{1}{x^2...
- page 215, 問題4.57(2). $\displaystyle \lim_{x \to +0} (...
- page 220, 問題5.44(2) の解答。ヒントに挙げられている問...
- page 238, 問題7.25(2) の解答。本の解答では $x=2\sqrt{y}...
ここで、積分領域$D'$は、$D'=\{(t,y) \mid y\ge 0, 0 \le t ...
$=\{(t,y) \mid t\ge 0, 0 \le y \le 2-4t^2\}$のように書け...
$y$ についての不定積分は簡単に求まるので、
$I = \displaystyle\int_0^{1/\sqrt{2}} \left(\int_0^{2-4t^...
dt
= \int_0^{1/\sqrt{2}} [4y^2]_{y=0}^{2-4t^2} \sqrt{1-t^2} dt
= \int_0^{1/\sqrt{2}} 4(2-4t^2)^2 \sqrt{1-t^2} dt
= \int_0^{1/\sqrt{2}}16(1-2t^2)^2 \sqrt{1-t^2} dt$
となる。
これで１変数の２次無理関数の積分まではこぎ着けた。
あとは、本にあるように、$t=\sin \theta$ と置換積分すると、
$I=\displaystyle\int_0^{1/\sqrt{2}} 16(1-2t^2)^2 \sqrt{1-...
=\int_0^{\pi/4}16 \cos^2(2\theta) \cos^2\theta d\theta
=\int_0^{\pi/4} 8 \cos^2(2\theta) (1+\cos2\theta) d\theta
=\int_0^{\pi/2} 4 \cos^2 \varphi (1+\cos \varphi) d\varphi$
となり、とにかく、計算できる積分であることが分かった。
ここからはいろいろやり方はあるが、例えば、
p116 問題5.109 の記号を使えば、
$I=4(I_2 + I_3)$
と表示される。
$I_2 = \pi/4,
I_3 = 2/3$
なので、答えが $\pi+8/3$ になるのである。
- page 240, 問題7.42(2). 問題を拡張して、同じ被積分関数を...
- page 241, 問題7.44(1). $I=\iint_B (2-x-y) \sqrt{x^2+y^2...
- page 242, 問題7.48. 「極座標に変換する」ように手段を限...
Step 1: 次に領域の境界に出てくる２次式 $2xz$ を対角化する...
$x=(u-v)/\sqrt{2},
z=(u+v)/\sqrt{2}$ と変数変換（置換積分）する。$(x,z)$ 平...
そうすると、
$dxdydz=dudvdy$ であり、被積分関数は
$(u+v)/\sqrt{2}$
となる。積分領域は
$D''= \{(u,v,y) \mid u-v \ge 0, u+v \ge 0, u^2+v^2+y^2 \l...
となる。最初の２つの不等式から、$u \ge \left|v\right| \ge...
逆に、$u\ge 0$ と最後の不等式 $ y^2\le u^2-v^2$ が成り立...
$= \{(u,v,y) \mid u\ge 0, v^2+y^2 \le \min(u^2, 1-u^2) \}...
従って、$ D^{\prime\prime} $ は $u$ を回転軸とする回転体...
被積分関数 $\frac{u+v}{\sqrt{2}} dudvdy$ のうち、
$v dv$ の方は奇関数の積分であり、領域 $D''$ が $v\mapsto ...
したがって、$u$ の方の積分だけが残って、
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{D''} \frac{u}{\sqrt{2}} du...
$I = \int_0^1 \frac{u}{\sqrt{2}} \pi g(u) du$ となる。こ...
$I= \int_0^1 \frac{1}{2\sqrt{2}} \pi g(\sqrt{t}) dt
= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \int_0^1 \min(t, 1-t) dt
= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \times \frac14
= \frac{\pi}{8\sqrt{2}}$.
最後の積分は三角形の面積である。計算終わり。
教科書の解法だと、難しい関数の積分(例えば例5.73)が使われ...
教科書の題材の分析や問題の背景
- page 28, line 3 から line 7 までの証明の別証。追記：な...
- page 28, 簡単な１次分数変換を使うことで、命題3.14. (2) ...
実際、(2) の $a_n$ を $b_n$ と書くと、$b_n = 1/(\alpha-a_...
- page 154, 問題6.77 の展開の近似で現れる $\psi(x)$ につ...
- page 154, 問題 6.78. 問題文の式の左辺を加法定理でまとめ...
- page 154, 例題6.79. 答えの解釈。$1/n^3$の係数が複雑な形...
- page 166, 注意6.102(1) の$x$ による曲線のパラメータ表示...
- page 173, 問題 6.131. 上の p166, 注意6.102(1)へのコメン...
- page 189, 例題7.31. この式で形式的に $a=0$ とすると、$\...
- page 236, line -11 から page 237, line 7 まで。問題6.12...
- page 240, 問題7.42(1). まったくの余談だが、$I_1$ と $I_...
$\displaystyle\left(\dfrac{1}{1+r^2} |_{r=0}\right) \time...
- page 242, 問題7.44(2). この解答で十分平易だが、別解はな...
- page 243, 問題7.62(3). このままで問題ないが、$D'$ で $r...
$D''_1=\{ (t,\theta) \mid \frac\pi4 \le \theta \lt \frac\...
$D''_2 =\{ (t,\theta) \mid \frac\pi2 \le \theta \le \pi, ...
この領域の形は、問題7.42(1) の解答の $D'$ の領域にとても...
問題や解答の方針の改変
- page 113, 問題5.99(2) の解答 page 255. 提示されている変...
- page 113, 例題5.100. 変数変換として、直前のリード文にあ...
(2) $s=\tan\theta$ と置換することで、$I(a,b) = \displayst...
Section 6.11と 6.12の構成に関して。
- 内容は次の３つに分けることができる：(a) 「ひとつの(ある...
(a) Section 6.11 の p158 の中程の「点P$(a,b)$ が $N_f$ の...
(b) 6.11 節, p158 の定理6.88の３行上からこの節の終わりま...
「6.12節、p163 の下から７行目から、定義6.98の後ろの解説ま...
ただし、この「、、、」の部分は、用語の定義をしているだけ...
(c) 6.12 節の定理6.94 の証明までと、p162 中程の「定理6.94...
著者のページで対応済みとなったコメント
- * page 21, 問題2.33. やさしい方（必要条件）「$\displays...
- * page 35, 定理 4.8 の証明。S の定義で $x,y \in I$ が必...
- * page 43, 注意4.27, line 2. 「含まれてる」は「 含まれ...
- * page 69, 問題4.93. 「と」する。
- * page 96, line 9. まる２。$n=1$のときは、有理関数では...
- * page 99 項目[1]. 変数変換$\tan \frac x2=t$ の由来が円...
- * page 112, 例5.96. ３行目から５行目の文。何をしてはい...
この例で、「被積分関数は奇関数ゆえ、、、、を得る」という...
としたい。
- * page 120, line -3 で $x=\sqrt{t} y+t$ と変数変換して...
- * page 159, なかほど。「$l_1$ と $l_2$ が曲線$f(\mathbf...
- * page 164, line 2. 「階数は０でない小行列式の最大次数...
- * page 170, 例題6.123. 解の冒頭の周期性。$f(x+2\pi,y)=f...
- * page 186, 例題7.24(1) の解。下から３行目と２行目。$x^...
すなわち、下３行を
$\displaystyle 4\int_0^{\frac12} \sqrt{1-t^2}dt = 4 \int_...
$= \displaystyle \left[ 2\theta + \sin 2\theta\right]_0^{...
ゆえに $I=\displaystyle\int_0^1 J(x) dx = \left( \frac\pi...
とできる。
- * page 203, 例7.63 の $D_n$ の定義。$\displaystyle \lim...
- * page 207, line -2. 「と」おくと。
- * page 239, 問題7.36 の解答。$D$ は原点 $(x,y)$ を含む...
- * page 243, 問題7.62(3) の$D'_2$ の定義式の $\frac\pi2 ...
- * page 244, 問題7.65 の解答の最後の行の分数の分母の指数...
終了行:
野村隆昭：微分積分学講義（共立出版）
- 講義準備をした上での注意点。ならびに、講義を１年間終え...
- コメントの分量が多くなって来たのでいくつかのパートに分...
- また、著者のページに掲載済みになったものは * をつけて、...
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別証明
- page 28, line 3 から line 7 までの証明の別証。「まるい...
従って、$0\lt \alpha-a_n \lt \frac1{2^{n-1}} (\alpha - a_...
- page 36, 定理4.9(2) の証明。$\delta$ を抽象的に選んでい...
- page 35, 定理 4.8 の証明。２変数の関数とその連続性が必...
- page 152, 命題6.73 の証明の(い)。
Bolzano-Weierstrass が使われているが、ここは(あ)と類似の...
$c \in (a-\delta,a+\delta)$ を固定する。
(あ)の構成法より$y_1 \lt \varphi(c) \lt y_2$ である。
任意の $0\lt \varepsilon \le \min( y_2 - \varphi(c), \var...
$y'_1 := \varphi(c) - \varepsilon$, $y'_2 := \varphi(c) +...
$f(c,y'_1)\lt 0$, $f(c,y'_2)\gt 0$ なので (あ)と同じ議論...
ある $\delta' \gt 0$ が存在して、
$[c-\delta', c+\delta']$ では $f(x,y'_1)\lt 0$ かつ $f(x,...
必要なら $\delta'$ は小さく取り替えることにして、
$[c-\delta', c+\delta'] \subset [a-\delta,a+\delta]$ とし...
単調増加性より $y'_1 \lt \varphi(x) \lt y'_2$ が $[c-\del...
成立している。
すなわち、$|x-c| \le \delta'$ ならば $| \varphi(x) - \var...
つまり $\varphi$ は $x=c$ で連続性の定義を満たしている。
説明の追加や文意の補足
- page 17, 問題2.19. 問題の置かれている位置から、直前の注...
- page 101, line -2. 例5.65. なお、２つのパラメータ表示が...
- page 113, 解説。「対称性を考慮して」とあるが、ここに書...
用語など
- page 2, line 9-10. 「空集合は任意の集合の部分集合となる...
- page 8. この本では、単射であれば（全射でなくても）逆写...
- page 135 の定理6.35 ではm変数からn変数への写像を考えて...
- page 137 (2) で $\theta_{xx} + \theta_{yy} =0$ を計算で...
- page 160, 注意6.91. 「漸近線」の定義がない？索引にも「...
- page 164, line 3. 「持ち得る最大の階数」。上の行を引き...
- page 165 の5行目からこの節の終わりまでの部分は、条件付...
教科書とは異なる計算方法
- page 25, 定理3.4 の証明の後半の段落。背理法が使われてい...
- page 160, 問題6.92(3). 解答では有界性を論じているが、そ...
- page 173, 例題6.130(2) の解答。ここで指定されている解法...
最小値のときは、$(X,Y,Z)=(1,1,1)$, $s=2$, $t=0$, $u=0$, $...
最大値のときは、$(X,Y,Z)=(\sqrt{5}+1, \sqrt{5}+1, (3-\sqr...
なお、この解法では微積を使っていない。
- page 187, 例題7.24(2)の解。(1) と同様に中の積分で、$x=y...
これは不定積分できて, $\displaystyle=\left[ \sqrt{3} \mbo...
- page 192, 例題7.35. 変数変換しない方が自然な解法かもし...
$\displaystyle I = \int_1^3 \int_0^1 \frac{dy}{1+xy^2} \f...
= \int_1^3 \left[ \frac{1}{\sqrt{x}} \mbox{Arctan} \sqrt{...
= \int_1^3 \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}} \mbox{Arctan} \sqrt{x}...
あとは、この１変数関数の積分であるが、教科書と同じように...
= \left[ (\mbox{Arctan} u)^2 \right]_1^{\sqrt{3}}$ と計算...
最後のところで、教科書と同じように $u=\tan\theta$ と置換...
- page 195, 例題7.43. 変数変換 $u=x+y+z$ をすると、$D' = ...
$I= \displaystyle \int_0^1 \left( \iint_{\{ (x,y) \mid x ...
- page 197, 例題7.46. 計算方法ではなく、答えの数字の意味...
- page 197, 問題7.47. 教科書のp242の解答では、例題7.46と...
$\displaystyle \iint_{E} \int_0^{\sqrt{1-x^2-y^2}} z \,dz...
$\displaystyle \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \frac12(1-x...
= \int_0^1 \left[ \frac14 x(1-x^2) y^2 - \frac18 x y^4 \...
= \int_0^1 \frac18 x(1-x^2)^2 dx
= \left[ -\frac1{48} (1-x^2)^3 \right]_0^1
= \frac1{48}$.
- page 197, 例題7.49.
教科書では１つ次元の下がった球と対応づけていて、問題5.109...
$D=\{(x_{1}, x_{2}) \mid x_{1}^2+x_{2}^2 \le 1\}$ とする。
$(x_1,x_2) \in D$ に対して、
$(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n) \in B_n(1)$ となる条件は、
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots+x_n^2 \le1$ なので、
$x_3^2+\cdots+x_n^2 \le1-x_1^2-x_2^2$と書き換えれば、
$(x_3,\ldots,x_n) \in B_{n-2}(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2})$ とな...
すなわち、
$\displaystyle V_{n}(1) = \iint_{D} V_{n-2} (\sqrt{1-x_1^...
$V_{n-2}(r) = r^{n-2} V_{n-2}(1)$ なので、
$\displaystyle V_{n}(1) = V_{n-2}(1) \iint_{D} (1-x_{n+1...
となる。積分を極座標に変換すると、
$= V_{n-2}(1) \displaystyle\int_0^1 (1-r^2)^{(n-2) /2} r\...
= V_{n-2}(1) \pi \left[ -\frac{1}{n/2} (1-r^2)^{n/2} \rig...
= V_{n-2}(1) \frac{2\pi}{n}$.
つまり、漸化式 $V_n(1) = \dfrac{2\pi}{n} V_{n-2}(1)$ が得...
この漸化式は簡単に解くことができて、$n$が偶数のときは、
$V_n(1) = V_2(1) \dfrac{(2\pi)^{n/2-1}}{n!!/2}=\dfrac{(2\...
$n$ が奇数のときは、
$V_n(1) = V_1(1) \dfrac{(2\pi)^{(n-1)/2}}{n!!} = \dfrac{2...
- page 204, 例7.64. ２変数関数の不確定点との関係。
$g(x,y)=\dfrac{x-y}{2(x+y)}$ とすると、
$\dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \dfrac{x-y...
である。
目的の積分は
$\displaystyle \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{\partial^2 ...
= \int_0^1 [ \frac{\partial g}{\partial y} ]_{x=0}^{x=1} dy
= \int_0^1 \left( \frac{\partial g}{\partial y}(1,y) - \f...
= [ g(1,y) - g(0,y) ]_{y=0}^{y=1}
= g(1,1) - g(0,1) - g(1,0) + \lim_{y\to0} g(0,y)$.
もう一方の積分は、
$\displaystyle \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{\partial^2 ...
= g(1,1) - g(0,1) - g(1,0) + \lim_{x\to0} g(x,0)$.
ここで、$g(1,1)=0, g(0,1)=-\frac12, g(1,0)=\frac12$ なの...
$g(1,1) - g(0,1) - g(1,0)=0$ である。
まとめると $\displaystyle \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{...
$\displaystyle \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{\partial^2 ...
なお、原点へ近づく方向によって $g(x,y)$ の極限値が異なる...
例題6.5(2) や問題6.6(2)と同じ現象である。
２変数関数の原点での不連続性と広義積分が発散することとが...
- page 204, 問題7.65(2) の別解。原点での発散の具合を見る...
$E = \{ (x,y) \mid x \ge 0, y\ge 0, x^2+y^2\le 1, (x,y) ...
($D \supset E$ であり、差集合 $D \setminus E$ 上で 被積分...
$E$ を極座標で表すと $E'=\{ (r,\theta) \mid 0 \lt r \le 1...
$\displaystyle \iint_{E'} \frac{|x-y|}{(x+y)^3} dx\, dy =...
ここで、$r$ に関する積分は $\displaystyle\int_0^1 \frac{d...
- page 204, 問題7.65(2), 別解。
解答の$D_1$ 上の積分を考える。
$x$ を止めて、$y$ を $u=x+y$ に変数変換する。
領域は $2 \gt 2x \gt u \gt x \gt 0$ と書けるので
$2 \gt u \gt x \gt u/2 \gt 0$ となる。
被積分関数は $\frac{x-(u-x)}{u^3} = \frac{2x-u}{u^3}$ で...
したがって、
$I=\displaystyle \iint_D \frac{x-y}{(x+y)^3} dx dy
= \int_0^2 \left( \int_{u/2}^u (2x-u) dx \right) \frac{du...
内側の積分は、
$\displaystyle\int_{u/2}^u (2x-u) dx
= \left[ x^2-ux \right]_{u/2}^u
= u^2/4$.
よって、$I=\displaystyle\int_0^2 \frac{du}{4u}=+\infty$.
- page 204, 問題7.65(2). 対称性を利用した、計算しない証明...
変数 $(x,y)$ を $(2x,2y)$ に変換しても、
$f \, dx\, dy$ は変わらないが、領域が大きくなる。
被積分関数は非負なので、それが生ずるのは値が$+\infty$ の...
- page 206, 問題7.69. 対称性を利用した値の計算。
目的の重積分が収束することが既に示されていると仮定して、...
被積分関数を $f=-1+\dfrac{-x^2+y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{2xy}{...
重積分 $J_1=\displaystyle\iint_{D'} \frac{-x^2+y^2}{x^2+y...
- page 206, 例7.70. 別解。
$I_1(\varepsilon)$ の積分で、
$y$ を $u=x-y$ に変換すると、
$\displaystyle \int_0^{x-\varepsilon} \frac{dy}{(x-y)^\al...
= \int_\varepsilon^x \frac{du}{u^\alpha}$ となる。
ここで積分順序を変更すると、
$I_1(\varepsilon) = \displaystyle \int_\varepsilon^1
\left( \int_u^1 dx \right)
\frac{du}{u^\alpha}
= \int_\varepsilon^1 \frac{1-u}{u^\alpha} du$.
従って、１変数の広義積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1-u...
が収束することと必要十分である。定理5.90 が適用できる。
あるいは、不定積分できるので、値を求めて収束発散を論じて...
無理にベータ積分で書けば $B(1-\alpha, 2)$ ともなる。
- page 210, 問題2.7. もし例題2.6 を使っていいとしたら、$\...
ここで、$\displaystyle\left\vert T_n \right\vert \le \fra...
\le \frac{n\left\vert b_1 \right\vert +n \left\vert b_2 \...
例題2.6 より、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left\...
ところで、
$S_n = T_n +\displaystyle\frac{n+(n-1)+\cdots+2+1}{n^2}\a...
- page 212, 問題 4.16. 本の解答では、$0 \lt \dfrac{1}{x^2...
- page 215, 問題4.57(2). $\displaystyle \lim_{x \to +0} (...
- page 220, 問題5.44(2) の解答。ヒントに挙げられている問...
- page 238, 問題7.25(2) の解答。本の解答では $x=2\sqrt{y}...
ここで、積分領域$D'$は、$D'=\{(t,y) \mid y\ge 0, 0 \le t ...
$=\{(t,y) \mid t\ge 0, 0 \le y \le 2-4t^2\}$のように書け...
$y$ についての不定積分は簡単に求まるので、
$I = \displaystyle\int_0^{1/\sqrt{2}} \left(\int_0^{2-4t^...
dt
= \int_0^{1/\sqrt{2}} [4y^2]_{y=0}^{2-4t^2} \sqrt{1-t^2} dt
= \int_0^{1/\sqrt{2}} 4(2-4t^2)^2 \sqrt{1-t^2} dt
= \int_0^{1/\sqrt{2}}16(1-2t^2)^2 \sqrt{1-t^2} dt$
となる。
これで１変数の２次無理関数の積分まではこぎ着けた。
あとは、本にあるように、$t=\sin \theta$ と置換積分すると、
$I=\displaystyle\int_0^{1/\sqrt{2}} 16(1-2t^2)^2 \sqrt{1-...
=\int_0^{\pi/4}16 \cos^2(2\theta) \cos^2\theta d\theta
=\int_0^{\pi/4} 8 \cos^2(2\theta) (1+\cos2\theta) d\theta
=\int_0^{\pi/2} 4 \cos^2 \varphi (1+\cos \varphi) d\varphi$
となり、とにかく、計算できる積分であることが分かった。
ここからはいろいろやり方はあるが、例えば、
p116 問題5.109 の記号を使えば、
$I=4(I_2 + I_3)$
と表示される。
$I_2 = \pi/4,
I_3 = 2/3$
なので、答えが $\pi+8/3$ になるのである。
- page 240, 問題7.42(2). 問題を拡張して、同じ被積分関数を...
- page 241, 問題7.44(1). $I=\iint_B (2-x-y) \sqrt{x^2+y^2...
- page 242, 問題7.48. 「極座標に変換する」ように手段を限...
Step 1: 次に領域の境界に出てくる２次式 $2xz$ を対角化する...
$x=(u-v)/\sqrt{2},
z=(u+v)/\sqrt{2}$ と変数変換（置換積分）する。$(x,z)$ 平...
そうすると、
$dxdydz=dudvdy$ であり、被積分関数は
$(u+v)/\sqrt{2}$
となる。積分領域は
$D''= \{(u,v,y) \mid u-v \ge 0, u+v \ge 0, u^2+v^2+y^2 \l...
となる。最初の２つの不等式から、$u \ge \left|v\right| \ge...
逆に、$u\ge 0$ と最後の不等式 $ y^2\le u^2-v^2$ が成り立...
$= \{(u,v,y) \mid u\ge 0, v^2+y^2 \le \min(u^2, 1-u^2) \}...
従って、$ D^{\prime\prime} $ は $u$ を回転軸とする回転体...
被積分関数 $\frac{u+v}{\sqrt{2}} dudvdy$ のうち、
$v dv$ の方は奇関数の積分であり、領域 $D''$ が $v\mapsto ...
したがって、$u$ の方の積分だけが残って、
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{D''} \frac{u}{\sqrt{2}} du...
$I = \int_0^1 \frac{u}{\sqrt{2}} \pi g(u) du$ となる。こ...
$I= \int_0^1 \frac{1}{2\sqrt{2}} \pi g(\sqrt{t}) dt
= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \int_0^1 \min(t, 1-t) dt
= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \times \frac14
= \frac{\pi}{8\sqrt{2}}$.
最後の積分は三角形の面積である。計算終わり。
教科書の解法だと、難しい関数の積分(例えば例5.73)が使われ...
教科書の題材の分析や問題の背景
- page 28, line 3 から line 7 までの証明の別証。追記：な...
- page 28, 簡単な１次分数変換を使うことで、命題3.14. (2) ...
実際、(2) の $a_n$ を $b_n$ と書くと、$b_n = 1/(\alpha-a_...
- page 154, 問題6.77 の展開の近似で現れる $\psi(x)$ につ...
- page 154, 問題 6.78. 問題文の式の左辺を加法定理でまとめ...
- page 154, 例題6.79. 答えの解釈。$1/n^3$の係数が複雑な形...
- page 166, 注意6.102(1) の$x$ による曲線のパラメータ表示...
- page 173, 問題 6.131. 上の p166, 注意6.102(1)へのコメン...
- page 189, 例題7.31. この式で形式的に $a=0$ とすると、$\...
- page 236, line -11 から page 237, line 7 まで。問題6.12...
- page 240, 問題7.42(1). まったくの余談だが、$I_1$ と $I_...
$\displaystyle\left(\dfrac{1}{1+r^2} |_{r=0}\right) \time...
- page 242, 問題7.44(2). この解答で十分平易だが、別解はな...
- page 243, 問題7.62(3). このままで問題ないが、$D'$ で $r...
$D''_1=\{ (t,\theta) \mid \frac\pi4 \le \theta \lt \frac\...
$D''_2 =\{ (t,\theta) \mid \frac\pi2 \le \theta \le \pi, ...
この領域の形は、問題7.42(1) の解答の $D'$ の領域にとても...
問題や解答の方針の改変
- page 113, 問題5.99(2) の解答 page 255. 提示されている変...
- page 113, 例題5.100. 変数変換として、直前のリード文にあ...
(2) $s=\tan\theta$ と置換することで、$I(a,b) = \displayst...
Section 6.11と 6.12の構成に関して。
- 内容は次の３つに分けることができる：(a) 「ひとつの(ある...
(a) Section 6.11 の p158 の中程の「点P$(a,b)$ が $N_f$ の...
(b) 6.11 節, p158 の定理6.88の３行上からこの節の終わりま...
「6.12節、p163 の下から７行目から、定義6.98の後ろの解説ま...
ただし、この「、、、」の部分は、用語の定義をしているだけ...
(c) 6.12 節の定理6.94 の証明までと、p162 中程の「定理6.94...
著者のページで対応済みとなったコメント
- * page 21, 問題2.33. やさしい方（必要条件）「$\displays...
- * page 35, 定理 4.8 の証明。S の定義で $x,y \in I$ が必...
- * page 43, 注意4.27, line 2. 「含まれてる」は「 含まれ...
- * page 69, 問題4.93. 「と」する。
- * page 96, line 9. まる２。$n=1$のときは、有理関数では...
- * page 99 項目[1]. 変数変換$\tan \frac x2=t$ の由来が円...
- * page 112, 例5.96. ３行目から５行目の文。何をしてはい...
この例で、「被積分関数は奇関数ゆえ、、、、を得る」という...
としたい。
- * page 120, line -3 で $x=\sqrt{t} y+t$ と変数変換して...
- * page 159, なかほど。「$l_1$ と $l_2$ が曲線$f(\mathbf...
- * page 164, line 2. 「階数は０でない小行列式の最大次数...
- * page 170, 例題6.123. 解の冒頭の周期性。$f(x+2\pi,y)=f...
- * page 186, 例題7.24(1) の解。下から３行目と２行目。$x^...
すなわち、下３行を
$\displaystyle 4\int_0^{\frac12} \sqrt{1-t^2}dt = 4 \int_...
$= \displaystyle \left[ 2\theta + \sin 2\theta\right]_0^{...
ゆえに $I=\displaystyle\int_0^1 J(x) dx = \left( \frac\pi...
とできる。
- * page 203, 例7.63 の $D_n$ の定義。$\displaystyle \lim...
- * page 207, line -2. 「と」おくと。
- * page 239, 問題7.36 の解答。$D$ は原点 $(x,y)$ を含む...
- * page 243, 問題7.62(3) の$D'_2$ の定義式の $\frac\pi2 ...
- * page 244, 問題7.65 の解答の最後の行の分数の分母の指数...
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