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開始行:
証明を書き下す練習(多くなってきたので少し分けて掲載する)：
微積っぽい問題
問題1：全単射 $f:[0,1]\to[0,1)$ を具体的に与えよ。
問題1-2: 連続全単射 $f:[0,1]\to[0,1)$ は存在するか。
問題1-3: 連続全単射 $f:[0,1)\to[0,1]$ は存在するか。
(問題1-2 に対するエレガントな解法を知らせてきた学生がいた...
問題2：$\displaystyle 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$ ...
(高校の教科書の学習範囲でできる解法を知らせてきた学生がい...
問題2-2：$\displaystyle 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots$...
(それを封じるために改題。)
問題3: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n|$ が収束すれ...
問題4: $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ を自然数全体の間の全...
問題5: 上に有界な数列 $\{a_n\}$ に対して、$\displaystyle\...
問題6: 微分可能な関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ に対し...
(仮定を$C^1$ に強めると簡単だが。)
問題7: 関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は任意の実数 $x,y...
問題8: 連続関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が $\displays...
問題8-2: $a$ を正の定数とする。$f(x)$ を $x\gt 0$ で定義...
$\displaystyle \lim_{x\to +0} x f'(x) - a f(x) = 0$ ならば
$\displaystyle \lim_{x\to+0} x f'(x) = \displaystyle \lim...
問題9: $f, h,k$ を $(0,1]$ 上の関数とする。
$f$ は$C^1$ 級、$h$ は$C^1$ 級かつ有界, $k$ は有界とする。
$f'(x) = f(x)^2 k(x) h'(x)$ と
$\displaystyle \lim_{x\to+0} f(x) = 0$ を仮定する。
そして $g(x)=f(x) e^{h(x)}$ とする。
このとき、$\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{f'(x)}{g'(x)...
[出題意図。$\displaystyle \lim_{x\to+0} h(x)$ が存在しな...
極限値 $\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{f(x)}{g(x)}$ は...
ロピタルの定理をどのように考えれば良いか。]
行列：
問題101: $n$ 次実正方行列 $A$ に対して、$B=A^n$ とすると...
問題102: ２次実正方行列 $A$ が「２次実正方行列$B$ を用い...
問題103: 実正方行列$A$ が「ある実正方行列 $B$ を用いて $A...
群論：
問題201: 位数2023の群は可換か？(位数63との違いは?)
問題201-2: 有限群$G$ と、その正規部分群$H$, $K$ を考える。
$H$, $K$, $G$ の位数がそれぞれ $m,n,mn$ であり、
$m$ と $n$ が互いに素であるとする。
この時、直積群 $H \times K$ と $G$ は同型か？
終了行:
証明を書き下す練習(多くなってきたので少し分けて掲載する)：
微積っぽい問題
問題1：全単射 $f:[0,1]\to[0,1)$ を具体的に与えよ。
問題1-2: 連続全単射 $f:[0,1]\to[0,1)$ は存在するか。
問題1-3: 連続全単射 $f:[0,1)\to[0,1]$ は存在するか。
(問題1-2 に対するエレガントな解法を知らせてきた学生がいた...
問題2：$\displaystyle 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$ ...
(高校の教科書の学習範囲でできる解法を知らせてきた学生がい...
問題2-2：$\displaystyle 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots$...
(それを封じるために改題。)
問題3: $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n|$ が収束すれ...
問題4: $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ を自然数全体の間の全...
問題5: 上に有界な数列 $\{a_n\}$ に対して、$\displaystyle\...
問題6: 微分可能な関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ に対し...
(仮定を$C^1$ に強めると簡単だが。)
問題7: 関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は任意の実数 $x,y...
問題8: 連続関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が $\displays...
問題8-2: $a$ を正の定数とする。$f(x)$ を $x\gt 0$ で定義...
$\displaystyle \lim_{x\to +0} x f'(x) - a f(x) = 0$ ならば
$\displaystyle \lim_{x\to+0} x f'(x) = \displaystyle \lim...
問題9: $f, h,k$ を $(0,1]$ 上の関数とする。
$f$ は$C^1$ 級、$h$ は$C^1$ 級かつ有界, $k$ は有界とする。
$f'(x) = f(x)^2 k(x) h'(x)$ と
$\displaystyle \lim_{x\to+0} f(x) = 0$ を仮定する。
そして $g(x)=f(x) e^{h(x)}$ とする。
このとき、$\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{f'(x)}{g'(x)...
[出題意図。$\displaystyle \lim_{x\to+0} h(x)$ が存在しな...
極限値 $\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{f(x)}{g(x)}$ は...
ロピタルの定理をどのように考えれば良いか。]
行列：
問題101: $n$ 次実正方行列 $A$ に対して、$B=A^n$ とすると...
問題102: ２次実正方行列 $A$ が「２次実正方行列$B$ を用い...
問題103: 実正方行列$A$ が「ある実正方行列 $B$ を用いて $A...
群論：
問題201: 位数2023の群は可換か？(位数63との違いは?)
問題201-2: 有限群$G$ と、その正規部分群$H$, $K$ を考える。
$H$, $K$, $G$ の位数がそれぞれ $m,n,mn$ であり、
$m$ と $n$ が互いに素であるとする。
この時、直積群 $H \times K$ と $G$ は同型か？
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