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をテンプレートにして作成
開始行:
証明を書き下す練習(多くなってきたので少し分けて掲載する)：
微積っぽい問題
問題1：全単射
を具体的に与えよ。
問題1-2: 連続全単射
f:[0,1]\to[0,1)
は存在するか。
問題1-3: 連続全単射
f:[0,1)\to[0,1]
は存在するか。
(問題1-2 に対するエレガントな解法を知らせてきた学生がいた...
問題2：
\displaystyle 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots
...
(高校の教科書の学習範囲でできる解法を知らせてきた学生がい...
問題2-2：
\displaystyle 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots
...
(それを封じるために改題。)
問題3:
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n|
が収束すれ...
問題4:
f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}
を自然数全体の間の全...
問題5: 上に有界な数列
\{a_n\}
に対して、$\displaystyle\...
問題6: 微分可能な関数
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
に対し...
(仮定を
C^1
に強めると簡単だが。)
問題7: 関数
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
は任意の実数 $x,y...
問題8: 連続関数
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
が $\displays...
問題8-2:
a
を正の定数とする。
f(x)
を
x\gt 0
で定義...
\displaystyle \lim_{x\to +0} x f'(x) - a f(x) = 0
ならば
$\displaystyle \lim_{x\to+0} x f'(x) = \displaystyle \lim...
問題9:
f, h,k
を
(0,1]
上の関数とする。
f
は
C^1
級、
h
は
C^1
級かつ有界,
k
は有界とする。
f'(x) = f(x)^2 k(x) h'(x)
と
\displaystyle \lim_{x\to+0} f(x) = 0
を仮定する。
そして
g(x)=f(x) e^{h(x)}
とする。
このとき、$\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{f'(x)}{g'(x)...
[出題意図。
\displaystyle \lim_{x\to+0} h(x)
が存在しな...
極限値
\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{f(x)}{g(x)}
は...
ロピタルの定理をどのように考えれば良いか。]
行列：
問題101:
n
次実正方行列
A
に対して、
B=A^n
とすると...
問題102: ２次実正方行列
A
が「２次実正方行列
B
を用い...
問題103: 実正方行列
A
が「ある実正方行列
B
を用いて $A...
群論：
問題201: 位数2023の群は可換か？(位数63との違いは?)
問題201-2: 有限群
G
と、その正規部分群
H
,
K
を考える。
H
,
K
,
G
の位数がそれぞれ
m,n,mn
であり、
m
と
n
が互いに素であるとする。
この時、直積群
H \times K
と
G
は同型か？
終了行:
証明を書き下す練習(多くなってきたので少し分けて掲載する)：
微積っぽい問題
問題1：全単射
f:[0,1]\to[0,1)
を具体的に与えよ。
問題1-2: 連続全単射
f:[0,1]\to[0,1)
は存在するか。
問題1-3: 連続全単射
f:[0,1)\to[0,1]
は存在するか。
(問題1-2 に対するエレガントな解法を知らせてきた学生がいた...
問題2：
\displaystyle 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots
...
(高校の教科書の学習範囲でできる解法を知らせてきた学生がい...
問題2-2：
\displaystyle 1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots
...
(それを封じるために改題。)
問題3:
\displaystyle \sum_{n=0}^\infty |a_n|
が収束すれ...
問題4:
f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}
を自然数全体の間の全...
問題5: 上に有界な数列
\{a_n\}
に対して、$\displaystyle\...
問題6: 微分可能な関数
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
に対し...
(仮定を
C^1
に強めると簡単だが。)
問題7: 関数
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
は任意の実数 $x,y...
問題8: 連続関数
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
が $\displays...
問題8-2:
a
を正の定数とする。
f(x)
を
x\gt 0
で定義...
\displaystyle \lim_{x\to +0} x f'(x) - a f(x) = 0
ならば
$\displaystyle \lim_{x\to+0} x f'(x) = \displaystyle \lim...
問題9:
f, h,k
を
(0,1]
上の関数とする。
f
は
C^1
級、
h
は
C^1
級かつ有界,
k
は有界とする。
f'(x) = f(x)^2 k(x) h'(x)
と
\displaystyle \lim_{x\to+0} f(x) = 0
を仮定する。
そして
g(x)=f(x) e^{h(x)}
とする。
このとき、$\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{f'(x)}{g'(x)...
[出題意図。
\displaystyle \lim_{x\to+0} h(x)
が存在しな...
極限値
\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{f(x)}{g(x)}
は...
ロピタルの定理をどのように考えれば良いか。]
行列：
問題101:
n
次実正方行列
A
に対して、
B=A^n
とすると...
問題102: ２次実正方行列
A
が「２次実正方行列
B
を用い...
問題103: 実正方行列
A
が「ある実正方行列
B
を用いて $A...
群論：
問題201: 位数2023の群は可換か？(位数63との違いは?)
問題201-2: 有限群
G
と、その正規部分群
H
,
K
を考える。
H
,
K
,
G
の位数がそれぞれ
m,n,mn
であり、
m
と
n
が互いに素であるとする。
この時、直積群
H \times K
と
G
は同型か？
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