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ochiai/quiz202005
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開始行:
- 問題１。定数
に対して、$\displaystyle \lim_{n\...
-- 解答？：
a_n = \sqrt[n]{c}
と置く。
\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n
と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = (c^{\tfrac1{2n}})^2 =c^{\tfrac1...
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\in...
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\i...
従って、
\alpha^2=\alpha
となる。
従って、
\alpha=0
または
\alpha=1
である。
a_n \ge 1
なので、定理2.9(ii) より
\alpha \ge 1
であ...
従って、
\alpha=1
が示せた。証明終わり。
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題２。定数
0\lt c \lt 1
に対して、$\displaystyle \l...
-- 解答？：
a_n = c^n
と置く。
\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n
と置く。
a_{n+1} = c a_n
である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\inf...
ここで最後の等号では、定理2.8(2.38)を用いた。
従って、
\alpha=c \alpha
.
c \neq 1
なので、
\alpha=0
.
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題３。
\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1
...
-- 解答？：
a_n = \sqrt[n]{n}
と置く。
\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n
と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = ((2n)^{\tfrac1{2n}})^2 =(2n)^{\...
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\in...
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\i...
右辺は、定理2.8(2.37) と、上の問１より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} a_n =\lim_{n...
= 1 \times \alpha=\alpha$ となる。
従って、
\alpha^2=\alpha
となる。
従って、
\alpha=0
または
\alpha=1
である。
a_n \ge 1
なので、定理2.9(ii) より
\alpha \ge 1
であ...
従って、
\alpha=1
が示せた。証明終わり。
-- （初級）[問1の結果を自由に使って良いとしても] この解答...
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題４。 $I=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{dx...
-- 解答？ $I=\displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty ...
$= \displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x+2}...
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すには何を補えば良いで...
- 問題5。
[-a,a]
で定義された奇関数
f
が逆関数
f^{-1}
...
（教科書、命題5.2, p163。)
-- 証明。
I=[-a,a]
と書き、
f
の像を
J=f(I)=f([-a,a])
...
なぜなら
x \in I
が存在して
y=f(x)
なので $-y=-f(x)=f...
この時、上で示した
-y=f(-x)
の両辺を
f^{-1}
で移すと...
-- 補足：連続性や狭義単調増加性はこの述べ方ならば不要であ...
- 問題６。
f(x)
は
[0,\infty)
で連続、
(0,\infty)
で...
- 解答：
x=g(t)=t/(1-t)
という関数を考える。$h=f\circ ...
- 自然数の集合
\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}
の冪集合 $\mat...
補助的に
f: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to [0,1]
を $f(A) ...
この時、
g
は全単射である。なお、(i)(ii) の場合は
g(A)
...
- 2の３乗根が1.26 ぐらいであることの計算の概略。$(5/4)^3=...
\fallingdotseq 1.26$.
実際の誤差は $1.26-\sqrt[3]{2}\fallingdotseq 8\times 10^...
-- 同じようなプロジェクトのために素材を置いておきます。
\sqrt[5]{109} = 2.555555397...
,
109 \times 2^{11} \times 99 + 2^5= 221\times 10^5
,
5/2\times \sqrt[5]{221/198}=2.5555561...
,
\displaystyle\lim_{x\to 1/45} 1+5x(1+x)/(1-x)=221/198
,
1+5x(1+x)/(1-x)-(1+x)^5 =x^4(5+4x+x^2)/(1-x)
,
$5/2\times \displaystyle\lim_{x\to 1/45} (1+x)=23/9\falli...
--
\sqrt[4]{10.5}=1.800103.....\fallingdotseq 1.8 = 9/5
.
--
\sqrt{5\sqrt{6}}=3.49964...\fallingdotseq 3.5=7/2
.
-- $\sqrt[10]{173/3} = 1.5000042... \fallingdotseq 1.5 = ...
-- これらは [[good ABCのリスト>http://www.math.leidenuniv...
終了行:
- 問題１。定数
c\gt 1
に対して、$\displaystyle \lim_{n\...
-- 解答？：
a_n = \sqrt[n]{c}
と置く。
\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n
と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = (c^{\tfrac1{2n}})^2 =c^{\tfrac1...
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\in...
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\i...
従って、
\alpha^2=\alpha
となる。
従って、
\alpha=0
または
\alpha=1
である。
a_n \ge 1
なので、定理2.9(ii) より
\alpha \ge 1
であ...
従って、
\alpha=1
が示せた。証明終わり。
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題２。定数
0\lt c \lt 1
に対して、$\displaystyle \l...
-- 解答？：
a_n = c^n
と置く。
\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n
と置く。
a_{n+1} = c a_n
である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\inf...
ここで最後の等号では、定理2.8(2.38)を用いた。
従って、
\alpha=c \alpha
.
c \neq 1
なので、
\alpha=0
.
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題３。
\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1
...
-- 解答？：
a_n = \sqrt[n]{n}
と置く。
\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n
と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = ((2n)^{\tfrac1{2n}})^2 =(2n)^{\...
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\in...
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\i...
右辺は、定理2.8(2.37) と、上の問１より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} a_n =\lim_{n...
= 1 \times \alpha=\alpha$ となる。
従って、
\alpha^2=\alpha
となる。
従って、
\alpha=0
または
\alpha=1
である。
a_n \ge 1
なので、定理2.9(ii) より
\alpha \ge 1
であ...
従って、
\alpha=1
が示せた。証明終わり。
-- （初級）[問1の結果を自由に使って良いとしても] この解答...
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題４。 $I=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{dx...
-- 解答？ $I=\displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty ...
$= \displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x+2}...
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すには何を補えば良いで...
- 問題5。
[-a,a]
で定義された奇関数
f
が逆関数
f^{-1}
...
（教科書、命題5.2, p163。)
-- 証明。
I=[-a,a]
と書き、
f
の像を
J=f(I)=f([-a,a])
...
なぜなら
x \in I
が存在して
y=f(x)
なので $-y=-f(x)=f...
この時、上で示した
-y=f(-x)
の両辺を
f^{-1}
で移すと...
-- 補足：連続性や狭義単調増加性はこの述べ方ならば不要であ...
- 問題６。
f(x)
は
[0,\infty)
で連続、
(0,\infty)
で...
- 解答：
x=g(t)=t/(1-t)
という関数を考える。$h=f\circ ...
- 自然数の集合
\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}
の冪集合 $\mat...
補助的に
f: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to [0,1]
を $f(A) ...
この時、
g
は全単射である。なお、(i)(ii) の場合は
g(A)
...
- 2の３乗根が1.26 ぐらいであることの計算の概略。$(5/4)^3=...
\fallingdotseq 1.26$.
実際の誤差は $1.26-\sqrt[3]{2}\fallingdotseq 8\times 10^...
-- 同じようなプロジェクトのために素材を置いておきます。
\sqrt[5]{109} = 2.555555397...
,
109 \times 2^{11} \times 99 + 2^5= 221\times 10^5
,
5/2\times \sqrt[5]{221/198}=2.5555561...
,
\displaystyle\lim_{x\to 1/45} 1+5x(1+x)/(1-x)=221/198
,
1+5x(1+x)/(1-x)-(1+x)^5 =x^4(5+4x+x^2)/(1-x)
,
$5/2\times \displaystyle\lim_{x\to 1/45} (1+x)=23/9\falli...
--
\sqrt[4]{10.5}=1.800103.....\fallingdotseq 1.8 = 9/5
.
--
\sqrt{5\sqrt{6}}=3.49964...\fallingdotseq 3.5=7/2
.
-- $\sqrt[10]{173/3} = 1.5000042... \fallingdotseq 1.5 = ...
-- これらは [[good ABCのリスト>http://www.math.leidenuniv...
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