ochiai/quiz202005
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開始行:
- 問題１。定数 $c\gt 1$ に対して、$\displaystyle \lim_{n\...
-- 解答？：$a_n = \sqrt[n]{c}$と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = (c^{\tfrac1{2n}})^2 =c^{\tfrac1...
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\in...
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\i...
従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。
従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。
$a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ であ...
従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題２。定数 $0\lt c \lt 1$ に対して、$\displaystyle \l...
-- 解答？：$a_n = c^n$ と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$a_{n+1} = c a_n$ である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\inf...
ここで最後の等号では、定理2.8(2.38)を用いた。
従って、$\alpha=c \alpha$.
$c \neq 1$ なので、$\alpha=0$.
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題３。$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$...
-- 解答？：$a_n = \sqrt[n]{n}$と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = ((2n)^{\tfrac1{2n}})^2 =(2n)^{\...
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\in...
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\i...
右辺は、定理2.8(2.37) と、上の問１より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} a_n =\lim_{n...
= 1 \times \alpha=\alpha$ となる。
従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。
従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。
$a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ であ...
従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。
-- （初級）[問1の結果を自由に使って良いとしても] この解答...
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題４。 $I=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{dx...
-- 解答？ $I=\displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty ...
$= \displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x+2}...
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すには何を補えば良いで...
- 問題5。$[-a,a]$ で定義された奇関数$f$ が逆関数 $f^{-1}$...
（教科書、命題5.2, p163。)
-- 証明。$I=[-a,a]$ と書き、$f$ の像を $J=f(I)=f([-a,a])$...
なぜなら $x \in I$ が存在して $y=f(x)$ なので $-y=-f(x)=f...
この時、上で示した $-y=f(-x)$ の両辺を $f^{-1}$ で移すと...
-- 補足：連続性や狭義単調増加性はこの述べ方ならば不要であ...
- 問題６。$f(x)$ は $[0,\infty)$ で連続、$(0,\infty)$ で...
- 解答： $x=g(t)=t/(1-t)$ という関数を考える。$h=f\circ ...
- 自然数の集合 $\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$ の冪集合 $\mat...
補助的に $f: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to [0,1]$ を $f(A) ...
この時、$g$ は全単射である。なお、(i)(ii) の場合は $g(A)$...
- 2の３乗根が1.26 ぐらいであることの計算の概略。$(5/4)^3=...
\fallingdotseq 1.26$.
実際の誤差は $1.26-\sqrt[3]{2}\fallingdotseq 8\times 10^...
-- 同じようなプロジェクトのために素材を置いておきます。
$\sqrt[5]{109} = 2.555555397...$,
$109 \times 2^{11} \times 99 + 2^5= 221\times 10^5$,
$5/2\times \sqrt[5]{221/198}=2.5555561...$,
$\displaystyle\lim_{x\to 1/45} 1+5x(1+x)/(1-x)=221/198$,
$1+5x(1+x)/(1-x)-(1+x)^5 =x^4(5+4x+x^2)/(1-x)$,
$5/2\times \displaystyle\lim_{x\to 1/45} (1+x)=23/9\falli...
-- $\sqrt[4]{10.5}=1.800103.....\fallingdotseq 1.8 = 9/5$.
-- $\sqrt{5\sqrt{6}}=3.49964...\fallingdotseq 3.5=7/2$.
-- $\sqrt[10]{173/3} = 1.5000042... \fallingdotseq 1.5 = ...
-- これらは [[good ABCのリスト>http://www.math.leidenuniv...
終了行:
- 問題１。定数 $c\gt 1$ に対して、$\displaystyle \lim_{n\...
-- 解答？：$a_n = \sqrt[n]{c}$と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = (c^{\tfrac1{2n}})^2 =c^{\tfrac1...
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\in...
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\i...
従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。
従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。
$a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ であ...
従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題２。定数 $0\lt c \lt 1$ に対して、$\displaystyle \l...
-- 解答？：$a_n = c^n$ と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$a_{n+1} = c a_n$ である。
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\inf...
ここで最後の等号では、定理2.8(2.38)を用いた。
従って、$\alpha=c \alpha$.
$c \neq 1$ なので、$\alpha=0$.
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題３。$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$...
-- 解答？：$a_n = \sqrt[n]{n}$と置く。
$\alpha=\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ と置く。
$\displaystyle a_{2n}^2 = ((2n)^{\tfrac1{2n}})^2 =(2n)^{\...
両辺の極限をとって、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = \lim_{n\to\in...
左辺は、定理2.8(2.37) より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{2n}^2 = (\lim_{n\to\i...
右辺は、定理2.8(2.37) と、上の問１より、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}2^{\tfrac1n} a_n =\lim_{n...
= 1 \times \alpha=\alpha$ となる。
従って、$\alpha^2=\alpha$ となる。
従って、$\alpha=0$ または $\alpha=1$ である。
$a_n \ge 1$ なので、定理2.9(ii) より $\alpha \ge 1$ であ...
従って、$\alpha=1$ が示せた。証明終わり。
-- （初級）[問1の結果を自由に使って良いとしても] この解答...
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すにはどこを補えば良い...
- 問題４。 $I=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{dx...
-- 解答？ $I=\displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty ...
$= \displaystyle \frac18 \int_{-\infty}^\infty \frac{x+2}...
-- （初級）この解答のどこが不備でしょうか。
-- （中級）この解答の趣旨に沿って直すには何を補えば良いで...
- 問題5。$[-a,a]$ で定義された奇関数$f$ が逆関数 $f^{-1}$...
（教科書、命題5.2, p163。)
-- 証明。$I=[-a,a]$ と書き、$f$ の像を $J=f(I)=f([-a,a])$...
なぜなら $x \in I$ が存在して $y=f(x)$ なので $-y=-f(x)=f...
この時、上で示した $-y=f(-x)$ の両辺を $f^{-1}$ で移すと...
-- 補足：連続性や狭義単調増加性はこの述べ方ならば不要であ...
- 問題６。$f(x)$ は $[0,\infty)$ で連続、$(0,\infty)$ で...
- 解答： $x=g(t)=t/(1-t)$ という関数を考える。$h=f\circ ...
- 自然数の集合 $\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$ の冪集合 $\mat...
補助的に $f: \mathcal{P}(\mathbb{N}) \to [0,1]$ を $f(A) ...
この時、$g$ は全単射である。なお、(i)(ii) の場合は $g(A)$...
- 2の３乗根が1.26 ぐらいであることの計算の概略。$(5/4)^3=...
\fallingdotseq 1.26$.
実際の誤差は $1.26-\sqrt[3]{2}\fallingdotseq 8\times 10^...
-- 同じようなプロジェクトのために素材を置いておきます。
$\sqrt[5]{109} = 2.555555397...$,
$109 \times 2^{11} \times 99 + 2^5= 221\times 10^5$,
$5/2\times \sqrt[5]{221/198}=2.5555561...$,
$\displaystyle\lim_{x\to 1/45} 1+5x(1+x)/(1-x)=221/198$,
$1+5x(1+x)/(1-x)-(1+x)^5 =x^4(5+4x+x^2)/(1-x)$,
$5/2\times \displaystyle\lim_{x\to 1/45} (1+x)=23/9\falli...
-- $\sqrt[4]{10.5}=1.800103.....\fallingdotseq 1.8 = 9/5$.
-- $\sqrt{5\sqrt{6}}=3.49964...\fallingdotseq 3.5=7/2$.
-- $\sqrt[10]{173/3} = 1.5000042... \fallingdotseq 1.5 = ...
-- これらは [[good ABCのリスト>http://www.math.leidenuniv...
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