ochiai/quiz_topology
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原付免許筆記試験方式で学ぶ位相空間論
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２年生へ、期末試験は２月５日（月）に行います。
真偽を判定せよ(2017. Dec. 18).
- $\mathbb{R}$ の被覆 $\{ (-x,x) \mid x \in \mathbb{R}, x...
$\{ (-n,n) \mid n \in \mathbb{N} \}$ は部分被覆である。[[...
- $N \subset M$ とする。$M$ の被覆
$\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}$ は $N$ の被覆...
[[答え>ochiai/yes]]
- 連結性は位相的性質である。[[答え>ochiai/yes]]
- コンパクト性は位相的性質である。[[答え>ochiai/yes]]
真偽を判定せよ(2017. Dec. 11).
- 連結成分は連結。[[答え>ochiai/yes]]
- $S \times \{ t \} \subset S \times T$ は $S$ と同相。[[...
- 連結集合の閉包も連結。[[答え>ochiai/yes]]
- 連結集合の開核も連結。[[答え>ochiai/no]]
- 無限集合 $S$ に補有限位相を入れた時、$S$ の空でない部分...
- 有限集合 $S$ に補有限位相を入れた時、$S$ の空でない部分...
真偽を判定せよ(2017. Nov. 27).
- $N \subset M \subset S$.
$N$ が $M$ で閉ならば $S$ でも閉。[[答え>ochiai/no]]
- $N \subset M \subset S$.
$\overline{N}$ を $N$ の $S$ での閉包とすると、
$\overline{N} \cap M$ は $N$ の $M$ での閉包。[[答え>ochi...
- $f : S \rightarrow S'$. $f(S) \subset M' \subset S'$ と...
$f'_1:S \rightarrow M'$ を $f'_1(x) = f(x)$ で定める。
この時、$f$ が連続なら $f'_1$ も連続。[[答え>ochiai/yes]]
- 同じ状況で、$f'_1$ が連続なら $f$ も連続。[[答え>ochiai...
- $f,g$ はともに $S$ から $(S', \mathfrak{O'}$ への写像で...
$\mathfrak{O}_f, \mathfrak{O}_g$ は $f,g$ の誘導する $S$ ...
この時、$\mathfrak{O}_f \cup \mathfrak{O}_g$ は位相である。
[[答え>ochiai/no]]
- $f(t) = 1-t^2, g(t)=t-t^3$ によって、$f:\mathbb{R} \rig...
g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ を定める。
$f,g$ がともに連続となるような最も弱い位相は、$\mathbb{R}...
[[答え>ochiai/no]]
真偽を判定せよ(2017. Nov. 13).
- $f:S \rightarrow S'$ が連続ならば、$O \in \mathfrak{O}$...
$f(O) \in \mathfrak{O}'$. [[答え>ochiai/no]]
- $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ が連続ならば、
実数$a$ に対して、$\{ x \in S \mid f(x) =a \}$ は $S$ の...
- 単射な開写像は閉写像。 [[答え>ochiai/no]]
- 全単射な開写像は閉写像。 [[答え>ochiai/yes]]
- 全単射な連続写像は開写像。[[答え>ochiai/no]]
- 全単射な開写像は連続写像。[[答え>ochiai/no]]
- 集合 $S$ 上の２つの位相 $\mathfrak{O}, \mathfrak{O}'$ ...
恒等写像 $f:(S, \mathfrak{O}) \rightarrow (S, \mathfrak{O...
$f$ が同相写像であることと２つの位相が一致することは同値。
[[答え>ochiai/yes]]
- $f$ が連続写像であることと、$\mathfrak{O}$ が $\mathfra...
[[答え>ochiai/yes]]
- $f$ が開写像であることと、$\mathfrak{O}$ が $\mathfrak{...
[[答え>ochiai/yes]]
- どの１点も閉集合となる最も弱い位相は補有限位相である。[...
- $\mathbb{R}$ の５つの位相「離散位相、下限位相、通常の距...
真偽を判定せよ(2017. Nov. 6).
- 位相から基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 同じ位相空間の２つの基底 $\mathfrak{B}_1, \mathfrak{B}_...
$\mathfrak{B}_1 \subset \mathfrak{B}_2$ または
$\mathfrak{B}_1 \supset \mathfrak{B}_2$ が成り立つ。[[答...
- 同じ位相空間の２つの基底 $\mathfrak{B}_1, \mathfrak{B}_...
- $\mathfrak{M}$ を準基底とする。$x \in O \in \mathfrak{O...
- $\mathfrak{B}$ を基底とする。$x \in O \in \mathfrak{O}$...
真偽を判定せよ(2017. Oct. 30)。
- 近傍は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $x$ が $V$ の内点であることと $V$ が $x$ の近傍であるこ...
- すべての $M \subset S$ に対して、
$M^{i_1} \subset M^{i_2}$ かつ $M^{a_1} \subset M^{a_2}$ ...
$\mathfrak{O}_1=\mathfrak{O}_2$ である。[[答え>ochiai/yes]]
- ２つの異なる位相 $\mathfrak{O}_1 \neq \mathfrak{O}_2$ ...
$\mathfrak{O}_1 \leq \mathfrak{O}_2$ あるいは $\mathfrak{...
- $\forall V \in \mathbf{V}(x), \forall y \in V, V \in \m...
真偽を判定せよ(2017. Oct. 23)。
- 各点からなる集合 $\{x\}$ が開集合ならば、離散位相。[[答...
- 各点からなる集合 $\{x\}$ が閉集合ならば、離散位相。[[答...
- $\mathfrak{O} \cap \mathfrak{A} = \{ \emptyset, S\}$. [...
- $\mathfrak{O} \cap \mathfrak{A} = \{ \emptyset, S\}$ な...
- 位相 $\mathcal{O}$ から$\mathcal{A}$ は一意的に決まる。...
- 開核作用子 $M \mapsto M^\circ$ から位相 $\mathcal{O}$は...
真偽を判定せよ(2017. Oct 16)。
- 何も見ないで開集合の公理 Oi, Oii, Oiii を書ける。
- 何も見ないで開核作用素の公理 Ii, Iii, Iiii, Iiv を書け...
- $\mathfrak{O}$ は $S$ の部分集合である。[[答え>ochiai/n...
- $S$ が無限集合ならば $\mathfrak{O}$ も無限集合である。[...
- $O \in \mathfrak{O}$, $O \neq \emptyset, O \neq S$ なら...
- $x \notin M$ ならば、$x$ が $M$ の触点であることと集積...
- $x \in M$ ならば、$x$ は必ず $M$ の触点。[[答え>ochiai/...
- $x \in M$ ならば、$x$ は $M$ の集積点であるか孤立点であ...
- $S$ の任意の点が $S$ の孤立点であれば、離散位相である。...
真偽を判定せよ(2017. Feb 6)。
- 同じ集合上の２つの距離によって位相が同相であれば、同じ...
- 同じ集合上の２つの距離によって位相が同相であれば、一つ...
- ２つの距離空間が同相であれば、片方が有界ならもう一方も...
- 位相空間には距離が入る。[[答え>ochiai/no]]
真偽を判定せよ(2017. Jan 30)。
- $\mathbb{R}$ のコンパクト集合は有界閉区間。[[答え>ochia...
- $\mathbb{R}$ のコンパクト集合は有界閉区間の有限個の和集...
- $\mathbb{R}$ の有界閉区間の（無限個の）和集合はコンパク...
- $\mathbb{R}$ のコンパクト集合で内部が空集合なら、可算集...
- 有限個の点はどんな位相でもコンパクト集合。[[答え>ochiai...
- どんな部分集合もコンパクトになる位相空間は密着位相空間...
- $T_3$ の分離公理を満たせば Hausdorff 空間になる。[[答え...
真偽を判定せよ(2017. Jan 23)。
- 連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S$ がコンパクトなら $S'...
- 連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S'$ がコンパクトなら $S...
- 全単射連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S'$ がコンパクト...
- 全単射連続写像 $f:S \to S'$ は同相写像.[[答え>ochiai/n...
- コンパクト集合と有限集合の直積集合はコンパクト集合.[[答...
真偽を判定せよ(2016.Dec. 5)。
- $A \cap B = \emptyset$ ならば $\overline{A} \cap \overl...
- 開集合 $A, B$ が $A \cap B = \emptyset$ を満たせば、$A ...
- $x \in S$ に対して、集合 $\{ y \in S \mid y \sim x$ で...
- $S= \{ \frac 1n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 0 \} ...
$0 \in S$ の連結成分は $\{0\}$ である。[[答え>ochiai/yes]]
真偽を判定せよ(2016.Nov.28)。
- ２つの離散位相空間の直積空間は離散位相空間である。[[答...
- 無限個の離散位相空間の直積空間は離散位相空間である。[[...
- 射影 $S_1 \times S_2 \rightarrow S_1$ は連続である。[[...
- $M_\lambda$ を $S_\lambda$ の空でない真部分集合であると...
$\Lambda$ が無限集合のときに、$\prod_{\lambda \in\Lambda}...
$\prod_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda$ の開集合には決し...
- $M$ が連結で、$N \subset M$ のとき、$N$ は連結である。[...
真偽を判定せよ(2016.Nov.14)。
- $f:S \rightarrow S'$ が同相写像、$g: S' \rightarrow S''...
- 同じ集合の上の二つの位相$ \mathfrak{O}_1, \mathfrak{O}_...
[[答え>ochiai/no]]
- $A_1 \subset S_1$, $A_2 \subset S_2$ がそれぞれ閉集合の...
の直積位相に関して閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $M=\{(x,x) \mid x \in S \} = \{ (x,y) \in S \times S \m...
- $\mathfrak{B}_1$ を $(S, \mathfrak{O}_1)$ の基底とした...
真偽を判定せよ(2016.Nov.7)。
- 全単射な開写像は連続である。[[答え>ochiai/no]]
- 全単射な開写像の逆写像は連続である。[[答え>ochiai/yes]]
- 全単射な連続写像の逆写像は開写像である。[[答え>ochiai/y...
- 全単射な写像$f$ による $M' \subset S'$の逆像は逆写像$f^...
- 連続な閉写像は開写像である。[[答え>ochiai/no]]
- 連続な開写像は閉写像である。[[答え>ochiai/no]]
- 基底 $\mathfrak{B}$ に対して、
$M$ が $x$ の近傍である必要十分条件は、ある$W \in \mathfr...
[[答え>ochiai/yes]]
- $\overline{M}=S$ の時、$M$ はちょうみつであるという。[[...
真偽を判定せよ(2016.Oct.31)。
- 近傍は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 離散位相空間の稠密な部分集合は全体集合である。[[答え>oc...
- $x$ が $V$ の内点であることと$V$ が$x$ の近傍であること...
- $\mathfrak{M} =\{ (a,\infty) \mid a \in \mathbb{R} \}$ ...
真偽を判定せよ(2016.Oct.24)。
- 位相 $\mathcal{O}$ から$\mathcal{A}$ は一意的に決まる。...
- 開核作用子 $M \mapsto M^\circ$ から位相 $\mathcal{O}$は...
- 位相から準基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 位相から基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 準基底ならば基底。[[答え>ochiai/no]]
- 非可算集合は第２可算公理を満たさない。[[答え>ochiai/no]]
真偽を判定せよ(2016.Oct.17)。
- $\mathcal{A} = \mathcal{O}^c$ である。[[答え>ochiai/no]]
- $\mathbb{R}$ の通常の位相に関して、$M=[0,10] \cap (無理...
$\sqrt{2}$ は $M$ の集積点である。[[答え>ochiai/no]]
- $\sqrt{2}$ は $N$ の孤立点である。[[答え>ochiai/no]]
- $\sqrt{2}$ は $N$ の触点である。[[答え>ochiai/yes]]
- $\sqrt{2}$ は $N$ の内点である。[[答え>ochiai/no]]
真偽を判定せよ(2016.Oct.11)。
- 位相 $\mathcal{O}$ は全体集合 $S$ の部分集合である。[[...
- どんな位相を考えても空集合は開集合である。[[答え>ochiai...
- $\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \lt 2 ...
- $\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \leq 2...
- 何も見ないで開集合の公理 Oi, Oii, Oiii を書ける。
- 何も見ないで開核作用素の公理 Ii, Iii, Iiii, Iiv を書け...
- 何も見ないで開核の特徴付け (2.1), (2.2), (2.3) が書ける。
真偽を判定せよ。
- $[1,5]$ は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5]$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5)$ は閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5)$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,\infty)$ は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,\infty)$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $(1,5)$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,\infty)$ は有界である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ 上の連続関数は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ 上の連続関数は有界である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ 上の連続関数の像は閉集合である。[[答え>ochiai/y...
- $[1,5)$ 上の連続関数の像は決して閉集合にならない。[[答...
- $[1,5]$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- $(1,5)$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- 部分位相はハサミを、商位相は糊を表す。[[答え>ochiai/yes]]
- ２つの有界閉区間の和集合は有界閉区間である。[[答え>ochi...
- ２つの有界閉集合の和集合は有界閉集合である。[[答え>ochi...
- 無限個の有界閉集合の和集合は有界閉集合である。[[答え>oc...
- 全体集合は近傍である。[[答え>ochiai/yes]]
- 全体集合は開集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 全体集合は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- どんな位相でも、１点と２点は同相にならない。[[答え>ochi...
- ２点からなる集合に密着位相を入れた時と、１点からなる集...
開集合の個数は同じである。[[答え>ochiai/yes]]
集合論だけど
- 可算集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。[[答え>oc...
- ２個からなる集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。[...
- ２個からなる集合の無限個の直積は必ず非可算集合である。[...
- 可算集合の２個の直積は可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 可算集合の有限個の直積は可算集合である。[[答え>ochiai/y...
- 可算集合の可算個の和集合は可算集合である。[[答え>ochiai...
- 代数的な数の全体は可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 複素数の全体は非可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
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２年生へ、期末試験は２月５日（月）に行います。
真偽を判定せよ(2017. Dec. 18).
- $\mathbb{R}$ の被覆 $\{ (-x,x) \mid x \in \mathbb{R}, x...
$\{ (-n,n) \mid n \in \mathbb{N} \}$ は部分被覆である。[[...
- $N \subset M$ とする。$M$ の被覆
$\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}$ は $N$ の被覆...
[[答え>ochiai/yes]]
- 連結性は位相的性質である。[[答え>ochiai/yes]]
- コンパクト性は位相的性質である。[[答え>ochiai/yes]]
真偽を判定せよ(2017. Dec. 11).
- 連結成分は連結。[[答え>ochiai/yes]]
- $S \times \{ t \} \subset S \times T$ は $S$ と同相。[[...
- 連結集合の閉包も連結。[[答え>ochiai/yes]]
- 連結集合の開核も連結。[[答え>ochiai/no]]
- 無限集合 $S$ に補有限位相を入れた時、$S$ の空でない部分...
- 有限集合 $S$ に補有限位相を入れた時、$S$ の空でない部分...
真偽を判定せよ(2017. Nov. 27).
- $N \subset M \subset S$.
$N$ が $M$ で閉ならば $S$ でも閉。[[答え>ochiai/no]]
- $N \subset M \subset S$.
$\overline{N}$ を $N$ の $S$ での閉包とすると、
$\overline{N} \cap M$ は $N$ の $M$ での閉包。[[答え>ochi...
- $f : S \rightarrow S'$. $f(S) \subset M' \subset S'$ と...
$f'_1:S \rightarrow M'$ を $f'_1(x) = f(x)$ で定める。
この時、$f$ が連続なら $f'_1$ も連続。[[答え>ochiai/yes]]
- 同じ状況で、$f'_1$ が連続なら $f$ も連続。[[答え>ochiai...
- $f,g$ はともに $S$ から $(S', \mathfrak{O'}$ への写像で...
$\mathfrak{O}_f, \mathfrak{O}_g$ は $f,g$ の誘導する $S$ ...
この時、$\mathfrak{O}_f \cup \mathfrak{O}_g$ は位相である。
[[答え>ochiai/no]]
- $f(t) = 1-t^2, g(t)=t-t^3$ によって、$f:\mathbb{R} \rig...
g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ を定める。
$f,g$ がともに連続となるような最も弱い位相は、$\mathbb{R}...
[[答え>ochiai/no]]
真偽を判定せよ(2017. Nov. 13).
- $f:S \rightarrow S'$ が連続ならば、$O \in \mathfrak{O}$...
$f(O) \in \mathfrak{O}'$. [[答え>ochiai/no]]
- $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ が連続ならば、
実数$a$ に対して、$\{ x \in S \mid f(x) =a \}$ は $S$ の...
- 単射な開写像は閉写像。 [[答え>ochiai/no]]
- 全単射な開写像は閉写像。 [[答え>ochiai/yes]]
- 全単射な連続写像は開写像。[[答え>ochiai/no]]
- 全単射な開写像は連続写像。[[答え>ochiai/no]]
- 集合 $S$ 上の２つの位相 $\mathfrak{O}, \mathfrak{O}'$ ...
恒等写像 $f:(S, \mathfrak{O}) \rightarrow (S, \mathfrak{O...
$f$ が同相写像であることと２つの位相が一致することは同値。
[[答え>ochiai/yes]]
- $f$ が連続写像であることと、$\mathfrak{O}$ が $\mathfra...
[[答え>ochiai/yes]]
- $f$ が開写像であることと、$\mathfrak{O}$ が $\mathfrak{...
[[答え>ochiai/yes]]
- どの１点も閉集合となる最も弱い位相は補有限位相である。[...
- $\mathbb{R}$ の５つの位相「離散位相、下限位相、通常の距...
真偽を判定せよ(2017. Nov. 6).
- 位相から基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 同じ位相空間の２つの基底 $\mathfrak{B}_1, \mathfrak{B}_...
$\mathfrak{B}_1 \subset \mathfrak{B}_2$ または
$\mathfrak{B}_1 \supset \mathfrak{B}_2$ が成り立つ。[[答...
- 同じ位相空間の２つの基底 $\mathfrak{B}_1, \mathfrak{B}_...
- $\mathfrak{M}$ を準基底とする。$x \in O \in \mathfrak{O...
- $\mathfrak{B}$ を基底とする。$x \in O \in \mathfrak{O}$...
真偽を判定せよ(2017. Oct. 30)。
- 近傍は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $x$ が $V$ の内点であることと $V$ が $x$ の近傍であるこ...
- すべての $M \subset S$ に対して、
$M^{i_1} \subset M^{i_2}$ かつ $M^{a_1} \subset M^{a_2}$ ...
$\mathfrak{O}_1=\mathfrak{O}_2$ である。[[答え>ochiai/yes]]
- ２つの異なる位相 $\mathfrak{O}_1 \neq \mathfrak{O}_2$ ...
$\mathfrak{O}_1 \leq \mathfrak{O}_2$ あるいは $\mathfrak{...
- $\forall V \in \mathbf{V}(x), \forall y \in V, V \in \m...
真偽を判定せよ(2017. Oct. 23)。
- 各点からなる集合 $\{x\}$ が開集合ならば、離散位相。[[答...
- 各点からなる集合 $\{x\}$ が閉集合ならば、離散位相。[[答...
- $\mathfrak{O} \cap \mathfrak{A} = \{ \emptyset, S\}$. [...
- $\mathfrak{O} \cap \mathfrak{A} = \{ \emptyset, S\}$ な...
- 位相 $\mathcal{O}$ から$\mathcal{A}$ は一意的に決まる。...
- 開核作用子 $M \mapsto M^\circ$ から位相 $\mathcal{O}$は...
真偽を判定せよ(2017. Oct 16)。
- 何も見ないで開集合の公理 Oi, Oii, Oiii を書ける。
- 何も見ないで開核作用素の公理 Ii, Iii, Iiii, Iiv を書け...
- $\mathfrak{O}$ は $S$ の部分集合である。[[答え>ochiai/n...
- $S$ が無限集合ならば $\mathfrak{O}$ も無限集合である。[...
- $O \in \mathfrak{O}$, $O \neq \emptyset, O \neq S$ なら...
- $x \notin M$ ならば、$x$ が $M$ の触点であることと集積...
- $x \in M$ ならば、$x$ は必ず $M$ の触点。[[答え>ochiai/...
- $x \in M$ ならば、$x$ は $M$ の集積点であるか孤立点であ...
- $S$ の任意の点が $S$ の孤立点であれば、離散位相である。...
真偽を判定せよ(2017. Feb 6)。
- 同じ集合上の２つの距離によって位相が同相であれば、同じ...
- 同じ集合上の２つの距離によって位相が同相であれば、一つ...
- ２つの距離空間が同相であれば、片方が有界ならもう一方も...
- 位相空間には距離が入る。[[答え>ochiai/no]]
真偽を判定せよ(2017. Jan 30)。
- $\mathbb{R}$ のコンパクト集合は有界閉区間。[[答え>ochia...
- $\mathbb{R}$ のコンパクト集合は有界閉区間の有限個の和集...
- $\mathbb{R}$ の有界閉区間の（無限個の）和集合はコンパク...
- $\mathbb{R}$ のコンパクト集合で内部が空集合なら、可算集...
- 有限個の点はどんな位相でもコンパクト集合。[[答え>ochiai...
- どんな部分集合もコンパクトになる位相空間は密着位相空間...
- $T_3$ の分離公理を満たせば Hausdorff 空間になる。[[答え...
真偽を判定せよ(2017. Jan 23)。
- 連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S$ がコンパクトなら $S'...
- 連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S'$ がコンパクトなら $S...
- 全単射連続写像 $f:S \to S'$ に対して $S'$ がコンパクト...
- 全単射連続写像 $f:S \to S'$ は同相写像.[[答え>ochiai/n...
- コンパクト集合と有限集合の直積集合はコンパクト集合.[[答...
真偽を判定せよ(2016.Dec. 5)。
- $A \cap B = \emptyset$ ならば $\overline{A} \cap \overl...
- 開集合 $A, B$ が $A \cap B = \emptyset$ を満たせば、$A ...
- $x \in S$ に対して、集合 $\{ y \in S \mid y \sim x$ で...
- $S= \{ \frac 1n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 0 \} ...
$0 \in S$ の連結成分は $\{0\}$ である。[[答え>ochiai/yes]]
真偽を判定せよ(2016.Nov.28)。
- ２つの離散位相空間の直積空間は離散位相空間である。[[答...
- 無限個の離散位相空間の直積空間は離散位相空間である。[[...
- 射影 $S_1 \times S_2 \rightarrow S_1$ は連続である。[[...
- $M_\lambda$ を $S_\lambda$ の空でない真部分集合であると...
$\Lambda$ が無限集合のときに、$\prod_{\lambda \in\Lambda}...
$\prod_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda$ の開集合には決し...
- $M$ が連結で、$N \subset M$ のとき、$N$ は連結である。[...
真偽を判定せよ(2016.Nov.14)。
- $f:S \rightarrow S'$ が同相写像、$g: S' \rightarrow S''...
- 同じ集合の上の二つの位相$ \mathfrak{O}_1, \mathfrak{O}_...
[[答え>ochiai/no]]
- $A_1 \subset S_1$, $A_2 \subset S_2$ がそれぞれ閉集合の...
の直積位相に関して閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $M=\{(x,x) \mid x \in S \} = \{ (x,y) \in S \times S \m...
- $\mathfrak{B}_1$ を $(S, \mathfrak{O}_1)$ の基底とした...
真偽を判定せよ(2016.Nov.7)。
- 全単射な開写像は連続である。[[答え>ochiai/no]]
- 全単射な開写像の逆写像は連続である。[[答え>ochiai/yes]]
- 全単射な連続写像の逆写像は開写像である。[[答え>ochiai/y...
- 全単射な写像$f$ による $M' \subset S'$の逆像は逆写像$f^...
- 連続な閉写像は開写像である。[[答え>ochiai/no]]
- 連続な開写像は閉写像である。[[答え>ochiai/no]]
- 基底 $\mathfrak{B}$ に対して、
$M$ が $x$ の近傍である必要十分条件は、ある$W \in \mathfr...
[[答え>ochiai/yes]]
- $\overline{M}=S$ の時、$M$ はちょうみつであるという。[[...
真偽を判定せよ(2016.Oct.31)。
- 近傍は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 離散位相空間の稠密な部分集合は全体集合である。[[答え>oc...
- $x$ が $V$ の内点であることと$V$ が$x$ の近傍であること...
- $\mathfrak{M} =\{ (a,\infty) \mid a \in \mathbb{R} \}$ ...
真偽を判定せよ(2016.Oct.24)。
- 位相 $\mathcal{O}$ から$\mathcal{A}$ は一意的に決まる。...
- 開核作用子 $M \mapsto M^\circ$ から位相 $\mathcal{O}$は...
- 位相から準基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 位相から基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 準基底ならば基底。[[答え>ochiai/no]]
- 非可算集合は第２可算公理を満たさない。[[答え>ochiai/no]]
真偽を判定せよ(2016.Oct.17)。
- $\mathcal{A} = \mathcal{O}^c$ である。[[答え>ochiai/no]]
- $\mathbb{R}$ の通常の位相に関して、$M=[0,10] \cap (無理...
$\sqrt{2}$ は $M$ の集積点である。[[答え>ochiai/no]]
- $\sqrt{2}$ は $N$ の孤立点である。[[答え>ochiai/no]]
- $\sqrt{2}$ は $N$ の触点である。[[答え>ochiai/yes]]
- $\sqrt{2}$ は $N$ の内点である。[[答え>ochiai/no]]
真偽を判定せよ(2016.Oct.11)。
- 位相 $\mathcal{O}$ は全体集合 $S$ の部分集合である。[[...
- どんな位相を考えても空集合は開集合である。[[答え>ochiai...
- $\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \lt 2 ...
- $\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \leq 2...
- 何も見ないで開集合の公理 Oi, Oii, Oiii を書ける。
- 何も見ないで開核作用素の公理 Ii, Iii, Iiii, Iiv を書け...
- 何も見ないで開核の特徴付け (2.1), (2.2), (2.3) が書ける。
真偽を判定せよ。
- $[1,5]$ は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5]$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5)$ は閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5)$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,\infty)$ は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,\infty)$ は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $(1,5)$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,\infty)$ は有界である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ 上の連続関数は有界である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ 上の連続関数は有界である。[[答え>ochiai/no]]
- $[1,5]$ 上の連続関数の像は閉集合である。[[答え>ochiai/y...
- $[1,5)$ 上の連続関数の像は決して閉集合にならない。[[答...
- $[1,5]$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- $[1,5)$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- $(1,5)$ は連結である。[[答え>ochiai/yes]]
- 部分位相はハサミを、商位相は糊を表す。[[答え>ochiai/yes]]
- ２つの有界閉区間の和集合は有界閉区間である。[[答え>ochi...
- ２つの有界閉集合の和集合は有界閉集合である。[[答え>ochi...
- 無限個の有界閉集合の和集合は有界閉集合である。[[答え>oc...
- 全体集合は近傍である。[[答え>ochiai/yes]]
- 全体集合は開集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 全体集合は閉集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- どんな位相でも、１点と２点は同相にならない。[[答え>ochi...
- ２点からなる集合に密着位相を入れた時と、１点からなる集...
開集合の個数は同じである。[[答え>ochiai/yes]]
集合論だけど
- 可算集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。[[答え>oc...
- ２個からなる集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。[...
- ２個からなる集合の無限個の直積は必ず非可算集合である。[...
- 可算集合の２個の直積は可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 可算集合の有限個の直積は可算集合である。[[答え>ochiai/y...
- 可算集合の可算個の和集合は可算集合である。[[答え>ochiai...
- 代数的な数の全体は可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
- 複素数の全体は非可算集合である。[[答え>ochiai/yes]]
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