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コメント
- 12/18-3,4.
と
S'
が同相で、
S
が性質Pを持てば $S...
- 12/11-4.
S=\mathbb{R}^2
. $M= \{ (x,y) \mid x^2 \geq 1...
この時、
M^\circ = \{ (x,y) \mid x^2 \gt 1 \}
. ``橋の細...
- 12/11-5. 閉集合は有限集合か全体集合。それが開集合にもな...
- 12/11-6. 離散位相になる。
- 11/27-1.
(3,4] \subset (0,4] \subset \mathbb{R}
.
- 11/27-2. p193 問３。
- 11/27-3. 定理25(b).
- 11/27-4.
f=i \circ f'_1
. 連続写像の合成。
- 11/27-5. $S=S'= \{1,2,3\}, \mathfrak{O}'= \{ \emptyset,...
f(i)=i, g(i)=4-i$ とする。
- 11/27-6.
t=1
の近傍は
t=-1
の近傍と必ず交わる。
- 11/13-1. 開写像と混同。
- 11/13-2.
f^{-1}(a)
と書ける。１点（閉集合）の逆像。
- 11/13-3.
(a,b) \rightarrow \mathbb{R}
.
- 11/13-4.
f^{-1}(A)^c = f^{-1}(A^c)
.
- 11/13-5,6 は 8,9 から反例ができる。例えば、$\mathfrak{O...
- 11/13-10.
- 11/6-2. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathb...
- 11/6-3. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathb...
- 11/6-4. $\mathfrak{M} = \{ (a,\infty) \mid a \in \mathb...
- 11/6-5. 定理15.
- 10/30-1.
[1,4)
は
3
の近傍。
- 10/30-2. 定義
- 10/30-3. 最初の条件からは、
\mathfrak{O}_1
の方が弱い、
２つ目の条件からは
\mathfrak{O}_1
の方が強いことが従う...
- 10/30-4. 位相は全順序ではない。例えば、p153, 例1(b) の ...
- 10/30-5. 上の 10/30-1 と同じものが反例になる。
x=3
, $V...
- 10/23-2. ユークリッド空間の普通の位相が反例。
- 10/23-3. 離散位相。
- 10/23-4. 補有限位相。(
S
が無限集合の時。）
- 10/16-3.
\mathfrak{O} \subset \mathfrak{P}(S)
が正し...
- 10/16-4. 例えば反例は、密着位相。この時
\mathfrak{O}
...
- 10/16-5. 例えば反例は、離散位相。
- 10/16-6.
M\setminus \{x\} = M
より。
- 10/16-7.
x \in M \subset \overline{M}
より。
- 10/16-8. 孤立点の定義より。
- 10/16-9. 証明。
x \in S
が
S
の集積点でないから、$x ...
- 2/6-2.
\mathbb{R}^2
の
l^1
と
l^2
のノルム。
- 2/6-3.
\tan: (-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \mathbb{R}
は...
- 2/6-4. 例えば Hausdorff でない空間は距離空間にはなれな...
- 1/30-1.
[0,1] \cup [3,5]
.
- 1/30-2.
\{ 1/n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}
.
- 1/30-3.
\cup_{n=1}^\infty [n,n+1] = [1, \infty)
.
- 1/30-4.
[0,1]
の元で、小数で表示した時にどの桁も2また...
非可算集合であり、コンパクトであり、内点を持たない。
- 1/30-6. 補有限位相。
- 1/30-7. T
_1
を満たさないが T
_3
を満たす例がある。例...
S=\{1,2,3\}
, $\mathfrak{O} = \{ \emptyset, S, \{1\}, \{...
- 1/23-1. 反例
S=[0,1], S'=\mathbb{R}, f(x)=x
.
- 1/23-2. 反例
S=\mathbb{R}, S'=[-2,1], f(x) = \sin x
.
- 1/23-3, 4. 反例. 集合として
S=S'
,
S'
に密着位相、$S...
- 1/23-5. 有限集合は常にコンパクト。
- 12/5-1. 反例
A=(0,2), B=(2,5)
。
- 12/5-2. p197 定理２の証明の４行目。
- 12/5-3. 補集合は
C_x
で閉集合。p198 定理4.
- 11/28-2. 反例は 11/28-4.
- 11/28-5. ナンセンス問題。$M=\mathbb{R}, N=(0,1) \cup (2...
- 11/14-1. p183, 定理22の特別な場合。
- 11/14-2. 反例：p166 の中程の注意。p153 例１(b).
- 11/14-3. $(A_1 \times A_2)^c = (A_1^c \times S_2) \cup ...
- 11/14-4.
S
密着位相。
- 11/7-1. 密着位相から離散位相。
- 11/7-5.
f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}
,
f(x)=x
.
- 11/7-6.
f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}
,
f(x)=x
.
- 10/31-1.
[0,2)
は
1
の近傍。
- 10/31-2. 離散位相空間の任意の集合は閉集合。
- 10/31-4.
(0,1)
を表せない。
- 10/24-6. 反例
\mathbb{R}
.
- 10/17-1. $\mathfrak{A} = \{ O^c \mid O \in \mathfrak{O}...
- 10/17-2から5. $N= (-\infty, 0) \cup ([0,10] \cap (\mbox...
結局
\sqrt{2}
のあたりしか関係ないので、
N=\mathbb{Q}
,...
- 10/11-3. 密着位相。
- 10/11-4. 離散位相。
「集合論だけど」
- 1 は 2から従う。
- 2 は対角線論法。p83 (3.15).
- 3 は 2 から従う。
- 4 は p84 (3.18).
- 5 は 4 から従う。
- 6 は p80 定理9 と (3.18).
- 7 は p78 問題6.
- 8 は p74 定理7 より。
終了行:
コメント
- 12/18-3,4.
S
と
S'
が同相で、
S
が性質Pを持てば $S...
- 12/11-4.
S=\mathbb{R}^2
. $M= \{ (x,y) \mid x^2 \geq 1...
この時、
M^\circ = \{ (x,y) \mid x^2 \gt 1 \}
. ``橋の細...
- 12/11-5. 閉集合は有限集合か全体集合。それが開集合にもな...
- 12/11-6. 離散位相になる。
- 11/27-1.
(3,4] \subset (0,4] \subset \mathbb{R}
.
- 11/27-2. p193 問３。
- 11/27-3. 定理25(b).
- 11/27-4.
f=i \circ f'_1
. 連続写像の合成。
- 11/27-5. $S=S'= \{1,2,3\}, \mathfrak{O}'= \{ \emptyset,...
f(i)=i, g(i)=4-i$ とする。
- 11/27-6.
t=1
の近傍は
t=-1
の近傍と必ず交わる。
- 11/13-1. 開写像と混同。
- 11/13-2.
f^{-1}(a)
と書ける。１点（閉集合）の逆像。
- 11/13-3.
(a,b) \rightarrow \mathbb{R}
.
- 11/13-4.
f^{-1}(A)^c = f^{-1}(A^c)
.
- 11/13-5,6 は 8,9 から反例ができる。例えば、$\mathfrak{O...
- 11/13-10.
- 11/6-2. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathb...
- 11/6-3. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathb...
- 11/6-4. $\mathfrak{M} = \{ (a,\infty) \mid a \in \mathb...
- 11/6-5. 定理15.
- 10/30-1.
[1,4)
は
3
の近傍。
- 10/30-2. 定義
- 10/30-3. 最初の条件からは、
\mathfrak{O}_1
の方が弱い、
２つ目の条件からは
\mathfrak{O}_1
の方が強いことが従う...
- 10/30-4. 位相は全順序ではない。例えば、p153, 例1(b) の ...
- 10/30-5. 上の 10/30-1 と同じものが反例になる。
x=3
, $V...
- 10/23-2. ユークリッド空間の普通の位相が反例。
- 10/23-3. 離散位相。
- 10/23-4. 補有限位相。(
S
が無限集合の時。）
- 10/16-3.
\mathfrak{O} \subset \mathfrak{P}(S)
が正し...
- 10/16-4. 例えば反例は、密着位相。この時
\mathfrak{O}
...
- 10/16-5. 例えば反例は、離散位相。
- 10/16-6.
M\setminus \{x\} = M
より。
- 10/16-7.
x \in M \subset \overline{M}
より。
- 10/16-8. 孤立点の定義より。
- 10/16-9. 証明。
x \in S
が
S
の集積点でないから、$x ...
- 2/6-2.
\mathbb{R}^2
の
l^1
と
l^2
のノルム。
- 2/6-3.
\tan: (-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \mathbb{R}
は...
- 2/6-4. 例えば Hausdorff でない空間は距離空間にはなれな...
- 1/30-1.
[0,1] \cup [3,5]
.
- 1/30-2.
\{ 1/n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}
.
- 1/30-3.
\cup_{n=1}^\infty [n,n+1] = [1, \infty)
.
- 1/30-4.
[0,1]
の元で、小数で表示した時にどの桁も2また...
非可算集合であり、コンパクトであり、内点を持たない。
- 1/30-6. 補有限位相。
- 1/30-7. T
_1
を満たさないが T
_3
を満たす例がある。例...
S=\{1,2,3\}
, $\mathfrak{O} = \{ \emptyset, S, \{1\}, \{...
- 1/23-1. 反例
S=[0,1], S'=\mathbb{R}, f(x)=x
.
- 1/23-2. 反例
S=\mathbb{R}, S'=[-2,1], f(x) = \sin x
.
- 1/23-3, 4. 反例. 集合として
S=S'
,
S'
に密着位相、$S...
- 1/23-5. 有限集合は常にコンパクト。
- 12/5-1. 反例
A=(0,2), B=(2,5)
。
- 12/5-2. p197 定理２の証明の４行目。
- 12/5-3. 補集合は
C_x
で閉集合。p198 定理4.
- 11/28-2. 反例は 11/28-4.
- 11/28-5. ナンセンス問題。$M=\mathbb{R}, N=(0,1) \cup (2...
- 11/14-1. p183, 定理22の特別な場合。
- 11/14-2. 反例：p166 の中程の注意。p153 例１(b).
- 11/14-3. $(A_1 \times A_2)^c = (A_1^c \times S_2) \cup ...
- 11/14-4.
S
密着位相。
- 11/7-1. 密着位相から離散位相。
- 11/7-5.
f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}
,
f(x)=x
.
- 11/7-6.
f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}
,
f(x)=x
.
- 10/31-1.
[0,2)
は
1
の近傍。
- 10/31-2. 離散位相空間の任意の集合は閉集合。
- 10/31-4.
(0,1)
を表せない。
- 10/24-6. 反例
\mathbb{R}
.
- 10/17-1. $\mathfrak{A} = \{ O^c \mid O \in \mathfrak{O}...
- 10/17-2から5. $N= (-\infty, 0) \cup ([0,10] \cap (\mbox...
結局
\sqrt{2}
のあたりしか関係ないので、
N=\mathbb{Q}
,...
- 10/11-3. 密着位相。
- 10/11-4. 離散位相。
「集合論だけど」
- 1 は 2から従う。
- 2 は対角線論法。p83 (3.15).
- 3 は 2 から従う。
- 4 は p84 (3.18).
- 5 は 4 から従う。
- 6 は p80 定理9 と (3.18).
- 7 は p78 問題6.
- 8 は p74 定理7 より。
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