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コメント
- 12/18-3,4. $S$ と $S'$ が同相で、$S$ が性質Pを持てば $S...
- 12/11-4. $S=\mathbb{R}^2$. $M= \{ (x,y) \mid x^2 \geq 1...
この時、$M^\circ = \{ (x,y) \mid x^2 \gt 1 \}$. ``橋の細...
- 12/11-5. 閉集合は有限集合か全体集合。それが開集合にもな...
- 12/11-6. 離散位相になる。
- 11/27-1. $(3,4] \subset (0,4] \subset \mathbb{R}$.
- 11/27-2. p193 問３。
- 11/27-3. 定理25(b).
- 11/27-4. $f=i \circ f'_1$. 連続写像の合成。
- 11/27-5. $S=S'= \{1,2,3\}, \mathfrak{O}'= \{ \emptyset,...
f(i)=i, g(i)=4-i$ とする。
- 11/27-6. $t=1$ の近傍は $t=-1$ の近傍と必ず交わる。
- 11/13-1. 開写像と混同。
- 11/13-2. $f^{-1}(a)$ と書ける。１点（閉集合）の逆像。
- 11/13-3. $(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$.
- 11/13-4. $f^{-1}(A)^c = f^{-1}(A^c)$.
- 11/13-5,6 は 8,9 から反例ができる。例えば、$\mathfrak{O...
- 11/13-10.
- 11/6-2. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathb...
- 11/6-3. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathb...
- 11/6-4. $\mathfrak{M} = \{ (a,\infty) \mid a \in \mathb...
- 11/6-5. 定理15.
- 10/30-1. $[1,4)$ は $3$ の近傍。
- 10/30-2. 定義
- 10/30-3. 最初の条件からは、$\mathfrak{O}_1$ の方が弱い、
２つ目の条件からは $\mathfrak{O}_1$ の方が強いことが従う...
- 10/30-4. 位相は全順序ではない。例えば、p153, 例1(b) の ...
- 10/30-5. 上の 10/30-1 と同じものが反例になる。$x=3$, $V...
- 10/23-2. ユークリッド空間の普通の位相が反例。
- 10/23-3. 離散位相。
- 10/23-4. 補有限位相。($S$ が無限集合の時。）
- 10/16-3. $\mathfrak{O} \subset \mathfrak{P}(S)$ が正し...
- 10/16-4. 例えば反例は、密着位相。この時 $\mathfrak{O}$ ...
- 10/16-5. 例えば反例は、離散位相。
- 10/16-6. $M\setminus \{x\} = M$ より。
- 10/16-7. $x \in M \subset \overline{M}$ より。
- 10/16-8. 孤立点の定義より。
- 10/16-9. 証明。$x \in S$ が $S$ の集積点でないから、$x ...
- 2/6-2. $\mathbb{R}^2$ の $l^1$ と $l^2$ のノルム。
- 2/6-3. $\tan: (-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \mathbb{R}$ は...
- 2/6-4. 例えば Hausdorff でない空間は距離空間にはなれな...
- 1/30-1. $[0,1] \cup [3,5]$.
- 1/30-2. $\{ 1/n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}$.
- 1/30-3. $\cup_{n=1}^\infty [n,n+1] = [1, \infty)$.
- 1/30-4. $[0,1]$ の元で、小数で表示した時にどの桁も2また...
非可算集合であり、コンパクトであり、内点を持たない。
- 1/30-6. 補有限位相。
- 1/30-7. T$_1$ を満たさないが T$_3$ を満たす例がある。例...
$S=\{1,2,3\}$, $\mathfrak{O} = \{ \emptyset, S, \{1\}, \{...
- 1/23-1. 反例 $S=[0,1], S'=\mathbb{R}, f(x)=x$.
- 1/23-2. 反例 $S=\mathbb{R}, S'=[-2,1], f(x) = \sin x$.
- 1/23-3, 4. 反例. 集合として $S=S'$, $S'$ に密着位相、$S...
- 1/23-5. 有限集合は常にコンパクト。
- 12/5-1. 反例 $A=(0,2), B=(2,5)$。
- 12/5-2. p197 定理２の証明の４行目。
- 12/5-3. 補集合は $C_x$ で閉集合。p198 定理4.
- 11/28-2. 反例は 11/28-4.
- 11/28-5. ナンセンス問題。$M=\mathbb{R}, N=(0,1) \cup (2...
- 11/14-1. p183, 定理22の特別な場合。
- 11/14-2. 反例：p166 の中程の注意。p153 例１(b).
- 11/14-3. $(A_1 \times A_2)^c = (A_1^c \times S_2) \cup ...
- 11/14-4. $S$ 密着位相。
- 11/7-1. 密着位相から離散位相。
- 11/7-5. $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x$.
- 11/7-6. $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x$.
- 10/31-1. $[0,2)$ は $1$ の近傍。
- 10/31-2. 離散位相空間の任意の集合は閉集合。
- 10/31-4. $(0,1)$ を表せない。
- 10/24-6. 反例 $\mathbb{R}$.
- 10/17-1. $\mathfrak{A} = \{ O^c \mid O \in \mathfrak{O}...
- 10/17-2から5. $N= (-\infty, 0) \cup ([0,10] \cap (\mbox...
結局 $\sqrt{2}$ のあたりしか関係ないので、$N=\mathbb{Q}$,...
- 10/11-3. 密着位相。
- 10/11-4. 離散位相。
「集合論だけど」
- 1 は 2から従う。
- 2 は対角線論法。p83 (3.15).
- 3 は 2 から従う。
- 4 は p84 (3.18).
- 5 は 4 から従う。
- 6 は p80 定理9 と (3.18).
- 7 は p78 問題6.
- 8 は p74 定理7 より。
終了行:
コメント
- 12/18-3,4. $S$ と $S'$ が同相で、$S$ が性質Pを持てば $S...
- 12/11-4. $S=\mathbb{R}^2$. $M= \{ (x,y) \mid x^2 \geq 1...
この時、$M^\circ = \{ (x,y) \mid x^2 \gt 1 \}$. ``橋の細...
- 12/11-5. 閉集合は有限集合か全体集合。それが開集合にもな...
- 12/11-6. 離散位相になる。
- 11/27-1. $(3,4] \subset (0,4] \subset \mathbb{R}$.
- 11/27-2. p193 問３。
- 11/27-3. 定理25(b).
- 11/27-4. $f=i \circ f'_1$. 連続写像の合成。
- 11/27-5. $S=S'= \{1,2,3\}, \mathfrak{O}'= \{ \emptyset,...
f(i)=i, g(i)=4-i$ とする。
- 11/27-6. $t=1$ の近傍は $t=-1$ の近傍と必ず交わる。
- 11/13-1. 開写像と混同。
- 11/13-2. $f^{-1}(a)$ と書ける。１点（閉集合）の逆像。
- 11/13-3. $(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$.
- 11/13-4. $f^{-1}(A)^c = f^{-1}(A^c)$.
- 11/13-5,6 は 8,9 から反例ができる。例えば、$\mathfrak{O...
- 11/13-10.
- 11/6-2. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathb...
- 11/6-3. $\mathfrak{B}_1 = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathb...
- 11/6-4. $\mathfrak{M} = \{ (a,\infty) \mid a \in \mathb...
- 11/6-5. 定理15.
- 10/30-1. $[1,4)$ は $3$ の近傍。
- 10/30-2. 定義
- 10/30-3. 最初の条件からは、$\mathfrak{O}_1$ の方が弱い、
２つ目の条件からは $\mathfrak{O}_1$ の方が強いことが従う...
- 10/30-4. 位相は全順序ではない。例えば、p153, 例1(b) の ...
- 10/30-5. 上の 10/30-1 と同じものが反例になる。$x=3$, $V...
- 10/23-2. ユークリッド空間の普通の位相が反例。
- 10/23-3. 離散位相。
- 10/23-4. 補有限位相。($S$ が無限集合の時。）
- 10/16-3. $\mathfrak{O} \subset \mathfrak{P}(S)$ が正し...
- 10/16-4. 例えば反例は、密着位相。この時 $\mathfrak{O}$ ...
- 10/16-5. 例えば反例は、離散位相。
- 10/16-6. $M\setminus \{x\} = M$ より。
- 10/16-7. $x \in M \subset \overline{M}$ より。
- 10/16-8. 孤立点の定義より。
- 10/16-9. 証明。$x \in S$ が $S$ の集積点でないから、$x ...
- 2/6-2. $\mathbb{R}^2$ の $l^1$ と $l^2$ のノルム。
- 2/6-3. $\tan: (-\pi/2,\pi/2) \rightarrow \mathbb{R}$ は...
- 2/6-4. 例えば Hausdorff でない空間は距離空間にはなれな...
- 1/30-1. $[0,1] \cup [3,5]$.
- 1/30-2. $\{ 1/n \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{0\}$.
- 1/30-3. $\cup_{n=1}^\infty [n,n+1] = [1, \infty)$.
- 1/30-4. $[0,1]$ の元で、小数で表示した時にどの桁も2また...
非可算集合であり、コンパクトであり、内点を持たない。
- 1/30-6. 補有限位相。
- 1/30-7. T$_1$ を満たさないが T$_3$ を満たす例がある。例...
$S=\{1,2,3\}$, $\mathfrak{O} = \{ \emptyset, S, \{1\}, \{...
- 1/23-1. 反例 $S=[0,1], S'=\mathbb{R}, f(x)=x$.
- 1/23-2. 反例 $S=\mathbb{R}, S'=[-2,1], f(x) = \sin x$.
- 1/23-3, 4. 反例. 集合として $S=S'$, $S'$ に密着位相、$S...
- 1/23-5. 有限集合は常にコンパクト。
- 12/5-1. 反例 $A=(0,2), B=(2,5)$。
- 12/5-2. p197 定理２の証明の４行目。
- 12/5-3. 補集合は $C_x$ で閉集合。p198 定理4.
- 11/28-2. 反例は 11/28-4.
- 11/28-5. ナンセンス問題。$M=\mathbb{R}, N=(0,1) \cup (2...
- 11/14-1. p183, 定理22の特別な場合。
- 11/14-2. 反例：p166 の中程の注意。p153 例１(b).
- 11/14-3. $(A_1 \times A_2)^c = (A_1^c \times S_2) \cup ...
- 11/14-4. $S$ 密着位相。
- 11/7-1. 密着位相から離散位相。
- 11/7-5. $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x$.
- 11/7-6. $f: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x$.
- 10/31-1. $[0,2)$ は $1$ の近傍。
- 10/31-2. 離散位相空間の任意の集合は閉集合。
- 10/31-4. $(0,1)$ を表せない。
- 10/24-6. 反例 $\mathbb{R}$.
- 10/17-1. $\mathfrak{A} = \{ O^c \mid O \in \mathfrak{O}...
- 10/17-2から5. $N= (-\infty, 0) \cup ([0,10] \cap (\mbox...
結局 $\sqrt{2}$ のあたりしか関係ないので、$N=\mathbb{Q}$,...
- 10/11-3. 密着位相。
- 10/11-4. 離散位相。
「集合論だけど」
- 1 は 2から従う。
- 2 は対角線論法。p83 (3.15).
- 3 は 2 から従う。
- 4 は p84 (3.18).
- 5 は 4 から従う。
- 6 は p80 定理9 と (3.18).
- 7 は p78 問題6.
- 8 は p74 定理7 より。
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