ochiai/report2
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位相の試験の答案に書かれていた幾つかの誤解。
開集合と閉集合に関する誤解
- 開集合でない集合は閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 閉集合でない集合は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合は閉集合でない。[[答え>ochiai/no]]
- 閉集合は開集合でない。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合でも空集合でも全体集合でもない集合は閉集合である...
- 全ての集合は開集合か閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合の補集合は閉集合である。閉集合の補集合は開集合で...
位相
- 位相の公理 (Oiii) は $O_n \in \mathfrak{O} (n=1,2,\ldot...
$O \in \mathfrak{O} \Leftrightarrow$ 「 $O\subset S$ はた...
- 密着位相でない位相は離散位相。[[答え>ochiai/no]] ( 他に...
写像
- 全単射で連続であれば同相写像である。[[答え>ochiai/no]] ...
- $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射連続写像は同相...
その他(書き方、など)
- 距離空間とは限らない位相空間で ball $B(x; \varepsilon)$...
- 「$M \in \mathfrak{P}(S)$ ならば $M^\circ \subset S$...
- $x \in (M \cap N)^\circ$ ならば $x$ は「開集合の元」で...
「開集合の元」は「$M$ の内点」と書くべし。
- 開核の性質(2.3)「$O \in M, O \in \mathfrak{O} \Rightarr...
基底
- 基底から準基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 準基底から基底は一意に決まる。答えはyes/no。「p168, (3....
- $\mathbb{R}$ の任意の部分集合は $\{ [a,b] \mid a \lt b ...
[[答え>ochiai/no]] (例えば、1点集合 $\{5\}$ を表せない。)
- 任意の集合は1点集合の和集合で表せる。[[答え>ochiai/yes...
直積位相
- 直積集合の開集合は $O_1 \times O_2$ と書ける。[[答え>oc...
- 直積集合の閉集合は $A_1 \times A_2$ と書ける。[[答え>oc...
- 直積集合の開集合は $O_1 \times O_2$ の形の集合の有限個...
- 直積集合の開集合は $O_1 \times O_2$ の形の開集合の和集...
対角線への埋め込み
- $x \mapsto (x,x)$ で与えられる写像 $S \rightarrow S \ti...
- $D:= \{(x,y) \in S \times S \mid x=y \} \subset S \time...
$x \mapsto (x,x)$ で与えられる写像 $S \rightarrow D$ は恒...
( 全単射ではあるが、$S=D$ ではないので、恒等写像ではない...
無限個の直積
- $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ は同相であるから、
$\prod_{i=1}^\infty (0,1)$ と$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{...
$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R}$ は $\prod_{i=1}^\infty \m...
$\prod_{i=1}^\infty (0,1)$ も$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{...
- $\prod_{i=1}^n (0,1)$ は $\prod_{i=1}^n \mathbb{R}$ の...
- したがって数学的帰納法により、$\prod_{i=1}^\infty (0,1)...
終了行:
位相の試験の答案に書かれていた幾つかの誤解。
開集合と閉集合に関する誤解
- 開集合でない集合は閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 閉集合でない集合は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合は閉集合でない。[[答え>ochiai/no]]
- 閉集合は開集合でない。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合でも空集合でも全体集合でもない集合は閉集合である...
- 全ての集合は開集合か閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合の補集合は閉集合である。閉集合の補集合は開集合で...
位相
- 位相の公理 (Oiii) は $O_n \in \mathfrak{O} (n=1,2,\ldot...
$O \in \mathfrak{O} \Leftrightarrow$ 「 $O\subset S$ はた...
- 密着位相でない位相は離散位相。[[答え>ochiai/no]] ( 他に...
写像
- 全単射で連続であれば同相写像である。[[答え>ochiai/no]] ...
- $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射連続写像は同相...
その他(書き方、など)
- 距離空間とは限らない位相空間で ball $B(x; \varepsilon)$...
- 「$M \in \mathfrak{P}(S)$ ならば $M^\circ \subset S$...
- $x \in (M \cap N)^\circ$ ならば $x$ は「開集合の元」で...
「開集合の元」は「$M$ の内点」と書くべし。
- 開核の性質(2.3)「$O \in M, O \in \mathfrak{O} \Rightarr...
基底
- 基底から準基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 準基底から基底は一意に決まる。答えはyes/no。「p168, (3....
- $\mathbb{R}$ の任意の部分集合は $\{ [a,b] \mid a \lt b ...
[[答え>ochiai/no]] (例えば、1点集合 $\{5\}$ を表せない。)
- 任意の集合は1点集合の和集合で表せる。[[答え>ochiai/yes...
直積位相
- 直積集合の開集合は $O_1 \times O_2$ と書ける。[[答え>oc...
- 直積集合の閉集合は $A_1 \times A_2$ と書ける。[[答え>oc...
- 直積集合の開集合は $O_1 \times O_2$ の形の集合の有限個...
- 直積集合の開集合は $O_1 \times O_2$ の形の開集合の和集...
対角線への埋め込み
- $x \mapsto (x,x)$ で与えられる写像 $S \rightarrow S \ti...
- $D:= \{(x,y) \in S \times S \mid x=y \} \subset S \time...
$x \mapsto (x,x)$ で与えられる写像 $S \rightarrow D$ は恒...
( 全単射ではあるが、$S=D$ ではないので、恒等写像ではない...
無限個の直積
- $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ は同相であるから、
$\prod_{i=1}^\infty (0,1)$ と$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{...
$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R}$ は $\prod_{i=1}^\infty \m...
$\prod_{i=1}^\infty (0,1)$ も$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{...
- $\prod_{i=1}^n (0,1)$ は $\prod_{i=1}^n \mathbb{R}$ の...
- したがって数学的帰納法により、$\prod_{i=1}^\infty (0,1)...
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