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ochiai/report2
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開始行:
位相の試験の答案に書かれていた幾つかの誤解。
開集合と閉集合に関する誤解
- 開集合でない集合は閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 閉集合でない集合は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合は閉集合でない。[[答え>ochiai/no]]
- 閉集合は開集合でない。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合でも空集合でも全体集合でもない集合は閉集合である...
- 全ての集合は開集合か閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合の補集合は閉集合である。閉集合の補集合は開集合で...
位相
- 位相の公理 (Oiii) は $O_n \in \mathfrak{O} (n=1,2,\ldot...
「
O\subset S
はた...
- 密着位相でない位相は離散位相。[[答え>ochiai/no]] ( 他に...
写像
- 全単射で連続であれば同相写像である。[[答え>ochiai/no]] ...
-
\mathbb{R}
から
\mathbb{R}
への全単射連続写像は同相...
その他（書き方、など）
- 距離空間とは限らない位相空間で ball
B(x; \varepsilon)
...
- 「
M \in \mathfrak{P}(S)
ならば
M^\circ \subset S
...
-
x \in (M \cap N)^\circ
ならば
x
は「開集合の元」で...
「開集合の元」は「
M
の内点」と書くべし。
- 開核の性質(2.3)「$O \in M, O \in \mathfrak{O} \Rightarr...
基底
- 基底から準基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 準基底から基底は一意に決まる。答えはyes/no。「p168, (3....
-
\mathbb{R}
の任意の部分集合は $\{ [a,b] \mid a \lt b ...
[[答え>ochiai/no]] (例えば、１点集合
\{5\}
を表せない。)
- 任意の集合は１点集合の和集合で表せる。[[答え>ochiai/yes...
直積位相
- 直積集合の開集合は
O_1 \times O_2
と書ける。[[答え>oc...
- 直積集合の閉集合は
A_1 \times A_2
と書ける。[[答え>oc...
- 直積集合の開集合は
O_1 \times O_2
の形の集合の有限個...
- 直積集合の開集合は
O_1 \times O_2
の形の開集合の和集...
対角線への埋め込み
-
x \mapsto (x,x)
で与えられる写像 $S \rightarrow S \ti...
- $D:= \{(x,y) \in S \times S \mid x=y \} \subset S \time...
x \mapsto (x,x)
で与えられる写像
S \rightarrow D
は恒...
( 全単射ではあるが、
S=D
ではないので、恒等写像ではない...
無限個の直積
-
(0,1)
と
\mathbb{R}
は同相であるから、
\prod_{i=1}^\infty (0,1)
と$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{...
\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R}
は $\prod_{i=1}^\infty \m...
\prod_{i=1}^\infty (0,1)
も$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{...
-
\prod_{i=1}^n (0,1)
は
\prod_{i=1}^n \mathbb{R}
の...
- したがって数学的帰納法により、$\prod_{i=1}^\infty (0,1)...
終了行:
位相の試験の答案に書かれていた幾つかの誤解。
開集合と閉集合に関する誤解
- 開集合でない集合は閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 閉集合でない集合は開集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合は閉集合でない。[[答え>ochiai/no]]
- 閉集合は開集合でない。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合でも空集合でも全体集合でもない集合は閉集合である...
- 全ての集合は開集合か閉集合である。[[答え>ochiai/no]]
- 開集合の補集合は閉集合である。閉集合の補集合は開集合で...
位相
- 位相の公理 (Oiii) は $O_n \in \mathfrak{O} (n=1,2,\ldot...
O \in \mathfrak{O} \Leftrightarrow
「
O\subset S
はた...
- 密着位相でない位相は離散位相。[[答え>ochiai/no]] ( 他に...
写像
- 全単射で連続であれば同相写像である。[[答え>ochiai/no]] ...
-
\mathbb{R}
から
\mathbb{R}
への全単射連続写像は同相...
その他（書き方、など）
- 距離空間とは限らない位相空間で ball
B(x; \varepsilon)
...
- 「
M \in \mathfrak{P}(S)
ならば
M^\circ \subset S
...
-
x \in (M \cap N)^\circ
ならば
x
は「開集合の元」で...
「開集合の元」は「
M
の内点」と書くべし。
- 開核の性質(2.3)「$O \in M, O \in \mathfrak{O} \Rightarr...
基底
- 基底から準基底は一意に決まる。[[答え>ochiai/no]]
- 準基底から基底は一意に決まる。答えはyes/no。「p168, (3....
-
\mathbb{R}
の任意の部分集合は $\{ [a,b] \mid a \lt b ...
[[答え>ochiai/no]] (例えば、１点集合
\{5\}
を表せない。)
- 任意の集合は１点集合の和集合で表せる。[[答え>ochiai/yes...
直積位相
- 直積集合の開集合は
O_1 \times O_2
と書ける。[[答え>oc...
- 直積集合の閉集合は
A_1 \times A_2
と書ける。[[答え>oc...
- 直積集合の開集合は
O_1 \times O_2
の形の集合の有限個...
- 直積集合の開集合は
O_1 \times O_2
の形の開集合の和集...
対角線への埋め込み
-
x \mapsto (x,x)
で与えられる写像 $S \rightarrow S \ti...
- $D:= \{(x,y) \in S \times S \mid x=y \} \subset S \time...
x \mapsto (x,x)
で与えられる写像
S \rightarrow D
は恒...
( 全単射ではあるが、
S=D
ではないので、恒等写像ではない...
無限個の直積
-
(0,1)
と
\mathbb{R}
は同相であるから、
\prod_{i=1}^\infty (0,1)
と$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{...
\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R}
は $\prod_{i=1}^\infty \m...
\prod_{i=1}^\infty (0,1)
も$\prod_{i=1}^\infty \mathbb{...
-
\prod_{i=1}^n (0,1)
は
\prod_{i=1}^n \mathbb{R}
の...
- したがって数学的帰納法により、$\prod_{i=1}^\infty (0,1)...
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