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開始行:
数学基礎Iの中間試験の問題から。講義で学習したものとは異な...
- $\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[-\infty,1/n] =(-\inf...
--
補集合を考えると、$\cup (1/n,\infty) =(0,\infty)$ を示せ...
- $\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[0,1/n] =\{0\}$ を示...
-- $A_n = [0,1/n]$ とする。$\cap A_n = \{0\}$ を示したい。
$B_n=(-\infty,1/n], C=[0,\infty)$ とする。$A_n=B_n \cap C...
- $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty (1,2+1/n) = (1,3]$ ...
-- $A_n=(1,2+1/n)$ とする。$A_n \subset A_1$ ゆえ、$n$ に...
証明終わり。
- $B_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1/n \leq x \leq ...
-- 長方形の４辺を用いて $C_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ...
$D_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq 1+1/n \}$,
$E_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq -1/n \}$,
$F_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \leq 1/n \}$
と定義すると、$B_n = C_n \cap D_n \cap E_n \cap F_n$ であ...
したがって、$\cap B_n = \cap (C_n \cap D_n \cap E_n \cap ...
= (\cap C_n) \cap (\cap D_n) \cap (\cap E_n) \cap (\cap F...
$\cap C_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq 1\}$,
$\cap E_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \leq 0\}$,
$\cap D_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}$,
$\cap F_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq 0\}$
を示せば良い。
これらの等式の証明は１つ次元の低い
$\cap (-\infty, 1+1/n] =(-\infty,1]$,
$\cap (-\infty,1/n] = (-\infty,0]$,
$\cap [-1/n,\infty) = [0,\infty)$
に帰着されている。
これらは第１項目の等式を平行移動したり $-1$ 倍して反転し...
陰関数の定理(定理9.1)が１次式の場合にどうなるか。
- 「$F: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $F(a,b)=0$, $F_y(a,b)...
- $F(x,y) = c x+dy+e$ の場合にこの定理がどうなっているか...
終了行:
数学基礎Iの中間試験の問題から。講義で学習したものとは異な...
- $\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[-\infty,1/n] =(-\inf...
--
補集合を考えると、$\cup (1/n,\infty) =(0,\infty)$ を示せ...
- $\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty[0,1/n] =\{0\}$ を示...
-- $A_n = [0,1/n]$ とする。$\cap A_n = \{0\}$ を示したい。
$B_n=(-\infty,1/n], C=[0,\infty)$ とする。$A_n=B_n \cap C...
- $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty (1,2+1/n) = (1,3]$ ...
-- $A_n=(1,2+1/n)$ とする。$A_n \subset A_1$ ゆえ、$n$ に...
証明終わり。
- $B_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid -1/n \leq x \leq ...
-- 長方形の４辺を用いて $C_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 ...
$D_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq 1+1/n \}$,
$E_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq -1/n \}$,
$F_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \leq 1/n \}$
と定義すると、$B_n = C_n \cap D_n \cap E_n \cap F_n$ であ...
したがって、$\cap B_n = \cap (C_n \cap D_n \cap E_n \cap ...
= (\cap C_n) \cap (\cap D_n) \cap (\cap E_n) \cap (\cap F...
$\cap C_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \leq 1\}$,
$\cap E_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \leq 0\}$,
$\cap D_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}$,
$\cap F_n = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq 0\}$
を示せば良い。
これらの等式の証明は１つ次元の低い
$\cap (-\infty, 1+1/n] =(-\infty,1]$,
$\cap (-\infty,1/n] = (-\infty,0]$,
$\cap [-1/n,\infty) = [0,\infty)$
に帰着されている。
これらは第１項目の等式を平行移動したり $-1$ 倍して反転し...
陰関数の定理(定理9.1)が１次式の場合にどうなるか。
- 「$F: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, $F(a,b)=0$, $F_y(a,b)...
- $F(x,y) = c x+dy+e$ の場合にこの定理がどうなっているか...
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