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開始行:
高瀬正仁「古典的難問に学ぶ微分積分」共立出版
- 講義の準備をした上で気がついた点
- p37, 問題1.2の解答。
広義積分を形式的に避けることで高校の極限の範囲で説明する...
line 9 まで計算を進めたところからの別計算法。
と変数変換すると、$\displaystyle \int_1^{\frac1y}...
=\int_y^1 \left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{1+s^3}} \right) \frac...
line -5 と同じ変形によって、
$=\displaystyle\int_y^1 \frac{s^2}{\sqrt[3]{1+s^3}\left(\...
となる。最後の式の被積分関数は
0 \le s \le 1
で連続なの...
$\displaystyle\int_0^1 \frac{s^2}{\sqrt[3]{1+s^3}\left(\s...
- p38, 問題1.3の解答。
一般の関数に関して同じ計算をすることで、何をしているかが...
g(x)=\sin x
と置くと、
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{g(x)-g(\alpha)} - \frac{1}...
$\displaystyle f(x)= - \frac{g(x)-g(\alpha)-g'(\alpha) (x...
右辺の第１項、第２項の
x\to\alpha
における極限値はそれぞ...
\frac12 g^{\prime\prime}(\alpha)
, $\displaystyle\frac 1...
$\displaystyle \lim_{x\to\alpha} f(x) = -\frac{g^{\prime\...
- p47, line 6.
表記方法の改善の提案。
第２式や第３式の分子は括弧をつけて、
(\sin x)(\pi-2x)
,
(\sin x)(\frac\pi2-x)
のように書き...
\sin
の引数がどこまでなのか一見すると見づらいため。
- p52, 問題1.9.
陰関数のパラメータ表示によって極限を直接計算する方法。
まず、与えられた曲線は有理パラメータ表示を与えることがで...
次にこれらの式を、
f(x,y)
に代入すると、$f(x,y) = \displa...
さて、上のパラメータ表示で
(x,y)=(0,0)
となるのは、$t=\...
t=1
,
t=-1
のとき、それぞれ、
g(1) = -\frac32
, $g(-1)...
- p57.
積で表されている関数の微分法によって、より単純な関数の挙...
f(x)
の
x=0
での微分可能性ならびに微分係数の計算。
g(x) = \displaystyle \frac{\sin \pi x}{x}
, $h(x) = \fra...
f(x)=g(x)h(x)
である。
g(x)
は
x=0
で微分可能であり、微分係数は、本と同じ計...
式の見かけがきれいになる、下部の＊を参照）をすることで、
g'(0)=0
と求められる。積の微分法より、
$f'(0) = g'(0) h(0) + g(0) h'(0) = 0 \times 1 + \pi \time...
同じく、
f(x)
の
x=\pi
での微分可能性ならびに微分係数...
g(x) = \displaystyle \frac{\sin \pi x}{1-x}
, $h(x) = \f...
f(x)=g(x)h(x)
である。
g(x)
は
x=\pi
で微分可能であり、微分係数は、
本と同じ計算（ただし、
x
の冪は出てこないので式の見かけ...
g'(\pi)=0
と求められる。積の微分法より、
$f'(\pi) = g'(\pi) h(\pi) + g(\pi) h'(\pi) = 0 \times 1 +...
＊：なお
g'(0)
の計算は、本のやり方を完全に踏襲すると、
$\displaystyle g'(0) = \lim_{x\to0} \frac{g(x)-g(0)}{x}
= \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin \pi x}{x}- \pi}{x}
= \lim_{x\to0} \frac{\sin \pi x - \pi x}{x^2}
= \lim_{x\to0} \frac{-\frac16 \pi^3 x^3+\cdots}{x^2}
= \lim_{x\to0} -\frac16 \pi^3 x + \cdots
= 0$ のように実行することができる。
- p58, line 1.
前のページの訂正の余波。
分母の
x^2
は
x
.
- p69, 問題1.14.
単純な不等式の評価のみによる別解。
変数変換
t=x+\log u
によって、積分変数を
t
から
u
...
f(x) = \displaystyle \int_{e^{-x}}^1 \sqrt{x+\log u} du
...
$f(x) = \displaystyle
\int_{e^{-x}}^1 \sqrt{x+\log u} du \lt
\int_{e^{-x}}^1 \sqrt{y+\log u} du \lt
\int_{e^{-y}}^1 \sqrt{y+\log u} du =f(y)$
となるので、
f
は増加関数である。
- p110,
\alpha, \beta
のような、明示的に書けない値が途中では出...
J_1 = \displaystyle\int_0^1 \frac{1-x^2}{x^4+1}dx
,
J_2 = \displaystyle\int_0^1 \frac{1+x^2}{x^4+1}dx
と定義すると、
$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^4+1}
= \frac12 J_1 + \frac12 J_2$
である。
J_2
で
x=1/t
と置換積分すると、
J_2 = \displaystyle\int_1^\infty \frac{1+t^2}{t^4+1} dt
となる。したがって、
$J_2 = \displaystyle\frac12 \int_0^\infty \frac{1+x^2}{x^...
さらにこの被積分関数は偶関数なので、
$J_2 = \displaystyle\frac14 \int_{-\infty}^\infty \frac{1...
さらに、奇関数の積分 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty...
$J_2 = \displaystyle \frac14 \int_{-\infty}^\infty \frac{...
= \frac14 \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1-\sqrt{2}x+x^2...
この積分は教科書(p.., line ...)にあるように平方完成して、...
上のようにしておくと、置換した後の区間の両端が $\pm \frac...
（したがって、
\alpha,\beta
などが登場しない。）
ついでに
J_1
の処理を本とは少し異なる形で導いておく。$t...
ここからは部分分数展開によって、$J_1 = \displaystyle \fra...
= - \frac1{2\sqrt{2}} \log \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} ...
- p121,
やはり不定積分できる関数である。なぜ、２つの逆三角関数が...
x,a,r
を３辺とする３角形を考える。
辺
r
,
x
の対角をそれぞれ、
\theta
,
\phi
とする。
このとき、第２余弦定理より、$a^2+x^2-r^2=2ax \cos \theta=...
$\displaystyle\cos^{-1} \frac{a^2+x^2-r^2}{2ax} = \pi-\th...
x=r
のとき、三角形は、
a
を底辺とする２等辺３角形であ...
\theta=\phi = \displaystyle \cos^{-1} \frac{a}{2r}
であ...
x=r-a+0
の極限で、３角形は１直線上に退化して、$\theta=\p...
$2x (\pi-\theta) dx
= (\pi-\theta) d(x^2)
= d((\pi-\theta) x^2) + x^2 d\theta$.
正弦定理より、
r \sin(\theta+\phi) = a \sin \theta
.
これを
\phi
で微分すると、
$(r \cos(\theta+\phi) - a \cos\theta) \displaystyle\frac{...
第１余弦定理より、
a \cos\theta-r \cos(\theta+\phi)=x
な...
$\displaystyle x \frac{d\theta}{d\phi} = r \cos(\theta+\p...
ここで再び、第１余弦定理より、
a \cos\phi-x \cos(\theta+\phi)=r
.
したがって、
$\displaystyle x^2 \frac{d\theta}{d\phi} = r x\cos(\theta...
となる.
以上より、
$2x (\pi-\theta) dx = d((\pi-\theta) x^2) + r(r-a \cos\ph...
= d((\pi-\theta) x^2+r^2\phi- ra \sin \phi)$ となる。
積分区間の両端の値を見ると、下端の値は
0
.
上端の値は、
$\displaystyle (\pi-\cos^{-1}(\frac{a}{2r})) r^2 + r^2 \c...
= \displaystyle 2r^2 (\frac\pi2-\cos^{-1}(\frac{a}{2r})) ...
= 2 r^2 \sin^{-1}(\frac{a}{2r}) -\frac a2 \sqrt{4r^2-a^2}...
この解法を見ると、
x=r-a
という端点の特殊性が、２つの逆...
- p127.
不定積分が求められる関数の定積分でも、区間が特別なときは...
対称性
x\mapsto 1/x
を活用する。
広義積分
\displaystyle \int_0^\infty \frac{dy}{y^3+1}
.
まず、$\displaystyle \frac{1}{y^3+1} = \frac12 \frac{1-y}...
$\displaystyle \int_0^\infty \frac{dy}{y^3+1} =
\frac12 \int_0^\infty \frac{1-y}{y^3+1} dy + \frac12 \int...
右辺第２項の積分は、本の p128 の方法で計算する。ここでは...
- p128, 問題2.8.
もしも「問題文に与えられている誘導とは趣旨が異なって、有...
極限の値だけに興味がある」とすれば、
a\to\infty
のときだ...
f(A,a)
の定義式で、
x=at
と置換積分すると、
$a^3 f(A,a) = \displaystyle\int_0^{A/a} \displaystyle\fra...
$\displaystyle\lim_{a\to\infty}a^3 f(A,a) = \int_0^0 \fra...
なお、
$\displaystyle\lim_{a\to+0}a^3 f(A,a) = \int_0^\infty \fr...
- p147, line -5
の冒頭も
\log
が抜けている。（右辺の計算の方には正しく ...
- p148, 問題2.14.
部分分数展開の代わりに階差数列から求める方法。
$J_n = \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{(1+x)^n}...
x=e^t
と置換積分すると、
$J_2 = \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{t e^t}{(...
この被積分関数は奇関数なので、
J_2=0
である。
次に、
$-n J_{n+1} +(n-1) J_n
= \displaystyle \int_0^\infty \left(\frac{-n}{(1+x)^{n+1}...
を計算する。被積分関数は、
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(1+x)^n} - \frac{1}{(1+x)^{...
= \frac{d}{dx} \frac{-x}{(1+x)^n} \times \log x$ と書けて...
定積分の部分は
$\displaystyle \left[ \frac{-x \log x}{(1+x)^n} \right]...
端点の値が、
$\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{-x \log x}{(1+x)^n} ...
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x \log x}{(1+x...
とわかる（教科書にあるように $\displaystyle \lim_{x \to+0...
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x} =0
...
$-n J_{n+1} +(n-1) J_n
= \displaystyle - \int_0^\infty \frac{-x}{(1+x)^n} \frac{...
= \displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x)^n}
= \frac{1}{n-1}$ と計算できた。
階差数列がわかったので、一般項はこれを足し合わせることで...
$-(n-1) J_n = \displaystyle \left( 1+\frac12+\cdots + \fr...
となる。
終了行:
高瀬正仁「古典的難問に学ぶ微分積分」共立出版
- 講義の準備をした上で気がついた点
- p37, 問題1.2の解答。
広義積分を形式的に避けることで高校の極限の範囲で説明する...
line 9 まで計算を進めたところからの別計算法。
t=1/s
と変数変換すると、$\displaystyle \int_1^{\frac1y}...
=\int_y^1 \left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{1+s^3}} \right) \frac...
line -5 と同じ変形によって、
$=\displaystyle\int_y^1 \frac{s^2}{\sqrt[3]{1+s^3}\left(\...
となる。最後の式の被積分関数は
0 \le s \le 1
で連続なの...
$\displaystyle\int_0^1 \frac{s^2}{\sqrt[3]{1+s^3}\left(\s...
- p38, 問題1.3の解答。
一般の関数に関して同じ計算をすることで、何をしているかが...
g(x)=\sin x
と置くと、
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{g(x)-g(\alpha)} - \frac{1}...
$\displaystyle f(x)= - \frac{g(x)-g(\alpha)-g'(\alpha) (x...
右辺の第１項、第２項の
x\to\alpha
における極限値はそれぞ...
\frac12 g^{\prime\prime}(\alpha)
, $\displaystyle\frac 1...
$\displaystyle \lim_{x\to\alpha} f(x) = -\frac{g^{\prime\...
- p47, line 6.
表記方法の改善の提案。
第２式や第３式の分子は括弧をつけて、
(\sin x)(\pi-2x)
,
(\sin x)(\frac\pi2-x)
のように書き...
\sin
の引数がどこまでなのか一見すると見づらいため。
- p52, 問題1.9.
陰関数のパラメータ表示によって極限を直接計算する方法。
まず、与えられた曲線は有理パラメータ表示を与えることがで...
次にこれらの式を、
f(x,y)
に代入すると、$f(x,y) = \displa...
さて、上のパラメータ表示で
(x,y)=(0,0)
となるのは、$t=\...
t=1
,
t=-1
のとき、それぞれ、
g(1) = -\frac32
, $g(-1)...
- p57.
積で表されている関数の微分法によって、より単純な関数の挙...
f(x)
の
x=0
での微分可能性ならびに微分係数の計算。
g(x) = \displaystyle \frac{\sin \pi x}{x}
, $h(x) = \fra...
f(x)=g(x)h(x)
である。
g(x)
は
x=0
で微分可能であり、微分係数は、本と同じ計...
式の見かけがきれいになる、下部の＊を参照）をすることで、
g'(0)=0
と求められる。積の微分法より、
$f'(0) = g'(0) h(0) + g(0) h'(0) = 0 \times 1 + \pi \time...
同じく、
f(x)
の
x=\pi
での微分可能性ならびに微分係数...
g(x) = \displaystyle \frac{\sin \pi x}{1-x}
, $h(x) = \f...
f(x)=g(x)h(x)
である。
g(x)
は
x=\pi
で微分可能であり、微分係数は、
本と同じ計算（ただし、
x
の冪は出てこないので式の見かけ...
g'(\pi)=0
と求められる。積の微分法より、
$f'(\pi) = g'(\pi) h(\pi) + g(\pi) h'(\pi) = 0 \times 1 +...
＊：なお
g'(0)
の計算は、本のやり方を完全に踏襲すると、
$\displaystyle g'(0) = \lim_{x\to0} \frac{g(x)-g(0)}{x}
= \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin \pi x}{x}- \pi}{x}
= \lim_{x\to0} \frac{\sin \pi x - \pi x}{x^2}
= \lim_{x\to0} \frac{-\frac16 \pi^3 x^3+\cdots}{x^2}
= \lim_{x\to0} -\frac16 \pi^3 x + \cdots
= 0$ のように実行することができる。
- p58, line 1.
前のページの訂正の余波。
分母の
x^2
は
x
.
- p69, 問題1.14.
単純な不等式の評価のみによる別解。
変数変換
t=x+\log u
によって、積分変数を
t
から
u
...
f(x) = \displaystyle \int_{e^{-x}}^1 \sqrt{x+\log u} du
...
$f(x) = \displaystyle
\int_{e^{-x}}^1 \sqrt{x+\log u} du \lt
\int_{e^{-x}}^1 \sqrt{y+\log u} du \lt
\int_{e^{-y}}^1 \sqrt{y+\log u} du =f(y)$
となるので、
f
は増加関数である。
- p110,
\alpha, \beta
のような、明示的に書けない値が途中では出...
J_1 = \displaystyle\int_0^1 \frac{1-x^2}{x^4+1}dx
,
J_2 = \displaystyle\int_0^1 \frac{1+x^2}{x^4+1}dx
と定義すると、
$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^4+1}
= \frac12 J_1 + \frac12 J_2$
である。
J_2
で
x=1/t
と置換積分すると、
J_2 = \displaystyle\int_1^\infty \frac{1+t^2}{t^4+1} dt
となる。したがって、
$J_2 = \displaystyle\frac12 \int_0^\infty \frac{1+x^2}{x^...
さらにこの被積分関数は偶関数なので、
$J_2 = \displaystyle\frac14 \int_{-\infty}^\infty \frac{1...
さらに、奇関数の積分 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty...
$J_2 = \displaystyle \frac14 \int_{-\infty}^\infty \frac{...
= \frac14 \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1-\sqrt{2}x+x^2...
この積分は教科書(p.., line ...)にあるように平方完成して、...
上のようにしておくと、置換した後の区間の両端が $\pm \frac...
（したがって、
\alpha,\beta
などが登場しない。）
ついでに
J_1
の処理を本とは少し異なる形で導いておく。$t...
ここからは部分分数展開によって、$J_1 = \displaystyle \fra...
= - \frac1{2\sqrt{2}} \log \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} ...
- p121,
やはり不定積分できる関数である。なぜ、２つの逆三角関数が...
x,a,r
を３辺とする３角形を考える。
辺
r
,
x
の対角をそれぞれ、
\theta
,
\phi
とする。
このとき、第２余弦定理より、$a^2+x^2-r^2=2ax \cos \theta=...
$\displaystyle\cos^{-1} \frac{a^2+x^2-r^2}{2ax} = \pi-\th...
x=r
のとき、三角形は、
a
を底辺とする２等辺３角形であ...
\theta=\phi = \displaystyle \cos^{-1} \frac{a}{2r}
であ...
x=r-a+0
の極限で、３角形は１直線上に退化して、$\theta=\p...
$2x (\pi-\theta) dx
= (\pi-\theta) d(x^2)
= d((\pi-\theta) x^2) + x^2 d\theta$.
正弦定理より、
r \sin(\theta+\phi) = a \sin \theta
.
これを
\phi
で微分すると、
$(r \cos(\theta+\phi) - a \cos\theta) \displaystyle\frac{...
第１余弦定理より、
a \cos\theta-r \cos(\theta+\phi)=x
な...
$\displaystyle x \frac{d\theta}{d\phi} = r \cos(\theta+\p...
ここで再び、第１余弦定理より、
a \cos\phi-x \cos(\theta+\phi)=r
.
したがって、
$\displaystyle x^2 \frac{d\theta}{d\phi} = r x\cos(\theta...
となる.
以上より、
$2x (\pi-\theta) dx = d((\pi-\theta) x^2) + r(r-a \cos\ph...
= d((\pi-\theta) x^2+r^2\phi- ra \sin \phi)$ となる。
積分区間の両端の値を見ると、下端の値は
0
.
上端の値は、
$\displaystyle (\pi-\cos^{-1}(\frac{a}{2r})) r^2 + r^2 \c...
= \displaystyle 2r^2 (\frac\pi2-\cos^{-1}(\frac{a}{2r})) ...
= 2 r^2 \sin^{-1}(\frac{a}{2r}) -\frac a2 \sqrt{4r^2-a^2}...
この解法を見ると、
x=r-a
という端点の特殊性が、２つの逆...
- p127.
不定積分が求められる関数の定積分でも、区間が特別なときは...
対称性
x\mapsto 1/x
を活用する。
広義積分
\displaystyle \int_0^\infty \frac{dy}{y^3+1}
.
まず、$\displaystyle \frac{1}{y^3+1} = \frac12 \frac{1-y}...
$\displaystyle \int_0^\infty \frac{dy}{y^3+1} =
\frac12 \int_0^\infty \frac{1-y}{y^3+1} dy + \frac12 \int...
右辺第２項の積分は、本の p128 の方法で計算する。ここでは...
- p128, 問題2.8.
もしも「問題文に与えられている誘導とは趣旨が異なって、有...
極限の値だけに興味がある」とすれば、
a\to\infty
のときだ...
f(A,a)
の定義式で、
x=at
と置換積分すると、
$a^3 f(A,a) = \displaystyle\int_0^{A/a} \displaystyle\fra...
$\displaystyle\lim_{a\to\infty}a^3 f(A,a) = \int_0^0 \fra...
なお、
$\displaystyle\lim_{a\to+0}a^3 f(A,a) = \int_0^\infty \fr...
- p147, line -5
の冒頭も
\log
が抜けている。（右辺の計算の方には正しく ...
- p148, 問題2.14.
部分分数展開の代わりに階差数列から求める方法。
$J_n = \displaystyle \int_0^\infty \frac{\log x}{(1+x)^n}...
x=e^t
と置換積分すると、
$J_2 = \displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{t e^t}{(...
この被積分関数は奇関数なので、
J_2=0
である。
次に、
$-n J_{n+1} +(n-1) J_n
= \displaystyle \int_0^\infty \left(\frac{-n}{(1+x)^{n+1}...
を計算する。被積分関数は、
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(1+x)^n} - \frac{1}{(1+x)^{...
= \frac{d}{dx} \frac{-x}{(1+x)^n} \times \log x$ と書けて...
定積分の部分は
$\displaystyle \left[ \frac{-x \log x}{(1+x)^n} \right]...
端点の値が、
$\displaystyle \lim_{x \to +0} \frac{-x \log x}{(1+x)^n} ...
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x \log x}{(1+x...
とわかる（教科書にあるように $\displaystyle \lim_{x \to+0...
\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\log x}{x} =0
...
$-n J_{n+1} +(n-1) J_n
= \displaystyle - \int_0^\infty \frac{-x}{(1+x)^n} \frac{...
= \displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{(1+x)^n}
= \frac{1}{n-1}$ と計算できた。
階差数列がわかったので、一般項はこれを足し合わせることで...
$-(n-1) J_n = \displaystyle \left( 1+\frac12+\cdots + \fr...
となる。
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