ochiai/matrix の履歴(No.1)

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  • 1 (2025-04-23 (水) 10:21:38)

ochiai/book 山本哲朗「行列解析ノート」

• p168, 問題19の別解。 $V:=\mathbf{a}^\perp$ を直交補空間とする。$\{ (\mathbf{a}, \mathbf{u}) \mid \mathbf{u} \in V \}$ は $\mathbb{R}$ の部分空間である。$\mathbf{u} \in V $ に対して、$\mathbf{p} = \mathbf{a} + \mathbf{u}$ とすると、 $(\mathbf{a},\mathbf{p}) = (\mathbf{a}, \mathbf{a}) >0$ となることから条件(P)の仮定を満たすので、結論 $0<(\mathbf{b},\mathbf{p}) = (\mathbf{b},\mathbf{a}) + (\mathbf{b}, \mathbf{u})$ が成り立つ。すなわち、$W \subset \{ t \in \mathbb{R} \mid t > - (\mathbf{b},\mathbf{a}) \}$ となる。繰り返しになるが $W \subset \mathbb{R}$ が部分空間なので $W=\{ 0 \}$ である。すなわち、$V \subset \mathbf{b}^\perp$ である。$\mathbf{a}^\perp \subset \mathbf{b}^\perp$ から $\mathbb{R}\mathbf{b} \subset\mathbb{R}\mathbf{a}$ が導かれる。証明終わり。