ochiai/quiz_topology の履歴(No.3)

原付免許筆記試験方式で学ぶ位相空間論

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真偽を判定せよ(2016.Oct.11.)。

位相 $\mathcal{O}$ は全体集合 $S$ の部分集合である。答え
どんな位相を考えても空集合は開集合である。答え
$\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \lt 2 \}$ は開集合である。答え
$\mathbb{R}$ にどんな位相を入れても $\{ -1 \lt x \leq 2 \}$ は開集合にはならない。答え
何も見ないで開集合の公理 Oi, Oii, Oiii を書ける。
何も見ないで開核作用素の公理 Ii, Iii, Iiii, Iiv を書ける。
何も見ないで開核の特徴付け (2.1), (2.2), (2.3) が書ける。

真偽を判定せよ。

$[1,5]$ は閉集合である。答え
$[1,5]$ は開集合である。答え
$[1,5)$ は閉集合である。答え
$[1,5)$ は開集合である。答え
$[1,\infty)$ は閉集合である。答え
$[1,\infty)$ は開集合である。答え
$[1,5]$ は有界である。答え
$(1,5)$ は有界である。答え
$[1,5)$ は有界である。答え
$[1,\infty)$ は有界である。答え
$[1,5]$ 上の連続関数は有界である。答え
$[1,5)$ 上の連続関数は有界である。答え
$[1,5]$ 上の連続関数の像は閉集合である。答え
$[1,5)$ 上の連続関数の像は決して閉集合にならない。答え
$[1,5]$ は連結である。答え
$[1,5)$ は連結である。答え
$(1,5)$ は連結である。答え
部分位相はハサミを、商位相は糊を表す。答え
２つの有界閉区間の和集合は有界閉区間である。答え
２つの有界閉集合の和集合は有界閉集合である。答え
無限個の有界閉集合の和集合は有界閉集合である。答え
全体集合は近傍である。答え
全体集合は開集合である。答え
全体集合は閉集合である。答え

どんな位相でも、１点と２点は同相にならない。答え
２点からなる集合に密着位相を入れた時と、１点からなる集合に密着位相を入れた時に、開集合の個数は同じである。答え

集合論だけど

可算集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。答え
２個からなる集合の可算個の直積は必ず非可算集合である。答え
２個からなる集合の無限個の直積は必ず非可算集合である。答え
可算集合の２個の直積は可算集合である。答え
可算集合の有限個の直積は可算集合である。答え
可算集合の可算個の和集合は可算集合である。答え
代数的な数の全体は可算集合である。答え
複素数の全体は非可算集合である。答え